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증명
단위수를 \(1\)라 하고 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의
연속적인 비가 같다고 하자.
그러면 세 번째 수 \(b\)는 제곱수이며 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 제곱수이다. 그리고 네
번째 수 \(c\)는 세제곱수이며 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 세제곱수이다. 또한 일곱 번째
수 \(f\)는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 그리고 항의 번호를 \(6\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 항들의 수들 모두
제곱수이며 동시에 세제곱수을 보여야 한다.
1) 세 번째 수 \(b\)는 제곱수이며 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 제곱수임을 보이자.
\(1:a=a:b\)이므로 \(\frac a1=\frac ba\)이다. [VII권 정의 20] \(\frac a1=a\)이다. 그러므로 \(\frac ba=a\)이다. 그러므로
\(b=a\cdot a\)이다. 따라서 \(b\)는 제곱수이다.
\(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같으므로 \(b\)가 제곱수이므로 \(d\)도 제곱수이다. [VIII권 명제 22] 같은 논리로 \(f\)도
제곱수이다. 같은 방법으로 항의 수를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 제곱수임을 보일 수 있다.
2) 다음으로 네 번째 수 \(c\)는 세제곱수이며 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 세제곱수임을
보이자.
\(1:a=b:c\)이다. \(\frac a1=\frac cb\)이고 \(\frac a1=a\)이므로 \(\frac cb=a\)이다. 그러므로 \(c=a\cdot b\)이다. \(b=a\cdot
a\)이고 \(c=a\cdot b\)이므로 \(c=a\cdot \left(a\cdot a \right)\)이므로 \(c\)는 세제곱수이다.
\(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같으므로 \(c\)가 세제곱수이므로 \(f\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23] 같은
방법으로 항의 수를 \(3\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 세제곱수임을 보일 수 있다.
3) 그런데 \(f\)는 제곱수임을 보였다. 그러므로 일곱 번째 수 \(f\)는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 같은 방법으로 항의 번호를
\(6\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수임을 보일 수 있다.
그러므로 단위수를 포함한 여러 개의 수들의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 세 번째 항의 수는 제곱수이며 항의 번호를 \(2\)로
나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 제곱수이다. 그리고 네 번째 항의 수는 세제곱수이며 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서
나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 세제곱수이다. 또한 일곱 번째 항의 수는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 그리고 항의 번호를
\(6\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수이다.
Q.E.D.
