IX 권
명제
명제 19
주어진 세 수에 대하여, 이 세 수와 비례하는 네 번째 수를 찾을 수 있다.
주어진 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:e\)인 네 번째 수 \(e\)를 찾을 수 있다.
IX 권
명제
주어진 세 수에 대하여, 이 세 수와 비례하는 네 번째 수를 찾을 수 있다.
주어진 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:e\)인 네 번째 수 \(e\)를 찾을 수 있다.
주어진 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 이 세 수와 비례하는 네 번째 수를 찾을 수 있음을 보여야 한다.
몇 개수의 연속적인 비가 같지 않으며 양 끝 수들이 서로소이거나 또는 연속적인 비가 같으면 양 끝 수들이 서로소가 아니거나 또는 연속적인 비가 같지 않으면서 양 끝 수들이 서로소가 아니거나 또는 연속적인 비가 같으면서 양 끝 수들이 서로소인 네 가지 경우가 있다.
1) \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같으면서 즉, \(a:b=b:c\)이면서 \(a\), \(c\)가 서로소라 하자.
그러면 \(a:b=c:d\)인 네 번째 수 \(d\)를 찾을 수 없다. [IX권 명제 17]
2) \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같지 않으면서 양 끝의 수가 서로소라고 하자.
이러한 경우에는 \(a:b=c:d\)인 네 번째 수 d를 찾을 수 없음을 보이자.
만약 \(a:b=c:d\)인 네 번째 수 \(d\)가 존재한다고 하자. 즉, \(a:b=c:d\)라고 하자. 그러면 \(b:c=d:e\)가 되도록 \(e\)를 잡자.
\(a:b=c:d\)이고 \(b:c=d:e\)이므로 \(a:c=c:e\) [VII권 명제 14] 그런데 \(a\), \(c\)는 서로소이다.
서로소인 수들은 비가 같은 수들 중에서 가장 작은 수이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20]
그러므로 \(a\)는 \(c\)를 나눈다. 그런데 \(a\)는 자신 \(a\)를 나눈다. 그러므로 a는 \(a\), \(c\)를 동시에 나눈다. 그런데 \(a\), \(c\)는 서로소이므로 이는 모순이다,
그러므로 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:d\)인 수 d는 존재하지 않는다.
3) \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같으면서 \(a\), \(c\)가 서로소가 아니라고 하자.
이러한 경우 \(a:b=c:e\)인 네 번째 수 \(e\)가 존재함을 보이자.
수 \(d\)를 \(d=b\cdot c\)라 하자. 그러면 \(a\)는 \(d\)를 나누거나 나누지 못한다.
우선 \(a\)가 \(d\)를 나눈다고 하자. 수 \(e\)를 \(\frac da=e\)라 하자. 그러면 \(d=a\cdot e\)이다. \(d=b\cdot c\)이다. 그러므로 \(a\cdot e=b\cdot c\)이다. 그러므로 \(a:e=b:c\)이다. 바꾼 비례식에 의해서 \(a:b=c:e\)이다. [VII권 명제 19] 그러므로 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:e\)를 만족하는 e가 존재한다.
다음으로 \(a\)가 \(d\)를 나누지 못한다고 하자. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:e\)인 수 \(e\)가 존재하지 않음을 보이자.
만약 \(a:b=c:e\)인 수 \(e\)가 존재한다고 하자. 그럼 바로 위에서 증명 했듯이 수 \(e\)가 존재한다. 그러면 \(a\cdot e=b\cdot c\)이다 [VII권 명제 19] 그런데 \(d=b\cdot c\)이다. 그러므로 \(a\cdot e=d\)이다. \(a\cdot e=d\)이므로 \(\frac da=e\)이다. 즉 \(a\)는 \(d\)를 나눈다. 그런데 \(a\)는 \(d\)를 나누지 못한다고 가정하였다. 이것은 모순이다. 그러므로 \(a:b=c:e\)인 수 \(e\)는 존재하지 않는다.
4) \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같지 않으면 \(a\), \(c\)가 서로소가 아니라고 하자. 수 \(d\)를 \(d=b\cdot c\)라고 하자. 앞에서와 같은 논리로 \(a\)가 \(d\)를 나누면 \(a:b=c:e\)인 수 \(e\)가 존재하고, \(a\)가 \(d\)를 나누지 못하면 \(a:b=c:e\)인 수 \(e\)가 존재하지 않음을 보일 수 있다.
그러므로 주어진 세 수에 대하여, 이 세 수와 비례하는 네 번째 수를 찾을 수 있다.
Q.E.D.
주어진 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:e\)를 만족하는 \(e\)를 찾는 것이다. 그러면 \(e=\frac{bc}a\)이다. 그러므로 \(a\)가 \(bc\)를 나누어야 하는 조건이 필요하다. 그리스어 버전에서는 이 명제가 손상되어 있다.
이 명제의 증명은 이무현 교수님의 «기하학 원론 나»를 참고로 하였다.