IX 권
명제
명제 31
어떤 홀수가 어떤 수와 서로소이면 그 홀수는 그 수의 \(2\)배와도 서로소이다.
홀수 \(a\)와 수 \(b\)는 서로소이고 수 \(c\)를 \(c=2b\)라 하자. 그러면 \(a\), \(c\)도 서로소이다.
IX 권
명제
어떤 홀수가 어떤 수와 서로소이면 그 홀수는 그 수의 \(2\)배와도 서로소이다.
홀수 \(a\)와 수 \(b\)는 서로소이고 수 \(c\)를 \(c=2b\)라 하자. 그러면 \(a\), \(c\)도 서로소이다.
홀수 \(a\)와 수 \(b\)는 서로소이고 수 \(c\)를 \(c=2b\)라 하자.
그러면 \(a\)와 \(c\)도 서로소임을 보여야 한다.
\(a\), \(c\)가 서로소가 아니라고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(c\)를 동시에 나누는 공약수가 존재하고 이를 \(d\)라 하자.
\(a\)가 홀수이므로 \(d\)도 홀수이다. 홀수 \(d\)가 \(c\)를 나누고 \(c\)는 짝수이므로 \(d\)는 \(\frac c2\)를 나눈다. [IX권 명제 30 (IX 명제 28)]
그런데 \(\frac c2=b\)이다. 그러므로 \(d\)는 \(b\)를 나눈다. 그런데 \(d\)는 \(a\)를 나눈다. 그러므로 \(d\)는 \(a\), \(b\)를 동시에 나눈다. 즉, 공약수이다. 그런데 \(a\), \(b\)는 서로소이므로 이것은 모순이다.
따라서 \(a\), \(c\)는 서로소가 아닌 것이 아니다. 즉, \(a\), \(c\)는 서로소이다.
그러므로 어떤 홀수가 어떤 수와 서로소이면 그 홀수는 그 수의 \(2\)배 와도 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제의 일반화는 "만약 두 수(이 명제에서 \(2\)와 \(b\))가 어떤 수(\(a\))에 대해 각각 서로소인 경우, 그 곱(\(2b\))도 어떤 수(\(a\))와도 서로소이다."이것은 [VII권 명제 24]와 같다.