IX 권
명제
명제 12
단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 그러면 소수가 마지막 수를 나누면 그 소수는 단위수 다음 수를 나눈다.
단위수 \(1\)과 몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다. 그러면 소수가 \(d\)를 나누면 그 소수는 \(a\)도 나눈다.
IX 권
명제
단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 그러면 소수가 마지막 수를 나누면 그 소수는 단위수 다음 수를 나눈다.
단위수 \(1\)과 몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다. 그러면 소수가 \(d\)를 나누면 그 소수는 \(a\)도 나눈다.
단위수 \(1\)과 몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다.
그러면 소수가 \(d\)를 나누면 그 소수는 \(a\)도 나눈다는 것을 보여야 한다.
소수 \(e\)가 \(d\)를 나눈다고 하자. 그러면 \(e\)가 \(a\)를 나눈다는 것을 보이자.
\(e\)가 \(a\)를 나누지 못한다고 하자. \(e\)가 소수이고 소수는 나누지 못하는 모든 수와 서로소이므로 \(e\)는 \(a\)와 서로소이다. [VII권 명제 29]
\(e\)가 \(d\)를 나누므로 수 \(f\)를 \(\frac de=f\)라 하자. 그러므로 \(d=e\cdot f\)이다. \(\frac da=\frac c1\)이므로 [IX권 명제 11, 따름 명제] \(d=a\cdot c\)이다.
\(d=e\cdot f\)이다. 그러므로 \(a\cdot c=e\cdot f\)이다. 그러므로 \(a:e=f:c\)이다. [VII권 명제 19] 그런데 \(a\), \(e\)는 서로소이다. 서로소인 수들은 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(e\)는 \(c\)를 나눈다.
수 \(g\)를 \(g=\frac ce\)라 하자. 그러면 \(c=e\cdot g\)이다. 그리고 앞의 명제에 의해서 \(c=a\cdot b\)이다. [IX권 명제 11, 따름 명제] 그러므로 \(a\cdot b=e\cdot g\)이다. 그러므로 \(a:e=g:b\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(a\), \(e\)는 서로소이다. 서로소인 수들은 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(e\)는 \(b\)를 나눈다.
\(e\)가 \(b\)를 나누므로 수 \(h\)를 \(h=\frac be\)라 하자. 그러면 \(b=e\cdot h\)이다. 그런데 \(b=a\cdot a\)이다. [IX권 명제 8] 그러므로 \(e\cdot h= a\cdot a\)이다. 그러므로 \(e:a=a:h\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(a\), \(e\)는 서로소이다. 서로소인 수들은 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(e\)는 \(a\)를 나눈다. 전자가 전자의 배수이다. 그런데 \(e\)는 \(a\)를 나누지 않는 다고 하였으므로 이것은 모순이다.
그러므로 \(e\), \(a\)는 서로소가 아니다. 그러므로 이들은 상대적 합성수이다. 상대적 합성수인 수들은 어떤 수로 모두 나눌 수 있다. [VII권 정의 14] 그런데 가정에서의해서 \(e\)는 서로소이며 소수는 자신 이외의 수로는 나눌 수 없다. 그러므로 \(e\)는 \(a\), \(e\)를 모두 나눈다. 그러므로 \(e\)는 \(a\)를 나눈다
같은 방법으로 어떤 소수가 \(d\)를 나눈면 그 소수는 \(a\)도 나눈다.
그러므로 단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 그러면 소수가 마지막 수를 나누면 그 소수는 단위수 다음 수를 나눈다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.
소수 \(p\)가 \(a^k\)를 나누면 소수 \(p\)는 \(a\)도 나눈다.
\(p\)가 \(a^k\)를 나눈다고 하자. 그리고 소수 \(p\)가 \(a\)를 나누지 않는다고 하자. \(p\)는 \(a\)와 서로소이다. [VII권 명제 29] 그러므로 \(\frac {a^k}{p:a^{k-1}}=a:p\)이다.
\(a:p\)는 비가 같은 수들 중 가장 작은 수이다. [VII권 명제 21] 그러므로 p는 a^{k-1}을 나눈다. [VII권 명제 20] 그리고 귀납법에 의해서 \(p\)가 \(a\)를 나눈다.
이 명제는 다음 명제에서 사용된다.