IX 권
명제
홀수에서 홀수를 뺀 수는 짝수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 두 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, 수 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 짝수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 두 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, 수 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 짝수임을 보여야 한다.
단위수 \(\overline{\rm BD}\)라 하자. 수 \(\overline{\rm AD}\)를 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm DB}\)라 하자. \(\overline{\rm AB}\)가 홀수이므로 \(\overline{\rm AD}\)는 짝수이다. [VII권 정의 7] 같은 논리로 \(\overline{\rm CD}\)도 짝수이다. [VII권 정의 7] 그러므로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}-\overline{\rm CD}\)이므로 \(\overline{\rm AC}\)도 짝수이다. [IX권 명제 24]
그러므로 홀수에서 홀수를 뺀 수는 짝수이다.
Q.E.D.
이 명제는 [IX권 명제 29]에서 사용된다.