VIII 권
목차
차례로 구한 비율이 같은 수들이 몇 개가 있다고 하자. 그리고 양 끝의 수가 서로소라고 하자. 그러면 이 수들이 이 수들과 비율과 같은 수들 중 가장 작은 수들이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 연속된 비 \(a:b=b:c=c:d\)를 만족하고 \(a\), \(d\)는 서로소라고 하자. 그러면 네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 연속된 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 네 개의 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
어떤 비에 대하여, 이 비와 같은 수들을 만들자. 그러면 어떤 비와 같으며 그 수의 크기가 가장 작은 수들을 잡을 수 있다.
수 \(a\), \(b\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 연속적 비 \(c:d=d:e\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 적은 개수의 수 \(c\), \(d\), \(e\)와 비 \(f:g=g:h=h:k\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 적은 개수의 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)를 잡을 수 있다.
세 수의 연속적인 비가 같은 수들 중에서 가장 작다고 하자. 그러면 양 끝의 수들은 제곱수이다.
네 수의 연속적인 비가 같은 수들 중에서 가장 작다고 하자. 그러면 양끝의 수들은 세제곱수이다.
연속적인 비가 같은 몇 개의 수들이 있다. 그리고 어떤 수들이 이들의 연속적인 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 이 수들의 양끝의 수는 서로소이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)를 만족한다. 어떤 수들이 이 연속적이 비와 같은 수들 중 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 양 끝의 수 \(a\), \(d\)는 서로소이다.
몇 개의 주어진 비와 같으며 가장 작은 수들이 있다고 하자. 이때 연속적인 비가 이전 비와 같은 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
몇 개의 주어진 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같으며 가장 작은 수 \(a\)와 \(b\), \(c\)와 \(d\), \(e\)와 \(f\)가 있다. 그러면 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)의 연속적인 비 \(h:g\), \(g:k\), \(k:l\)이 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(h:g:k:l\)의 비와 같은 수들 중 가장 작은 수인 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)을 구할 수 있다.
평면수 비는 그들이 변의 비를 곱한 것과 같다.
두 평면수 \(a\), \(b\)가 있다고 하자. 두 수 \(c\), \(d\)를 평면수 \(a\)의 변이라 하고, 두 수 \(e\), \(f\)를 평면수 \(b\)의 변이라고 하자. 그러면 \(a:b=cd:ef\)이다.
몇 개의 수가 연속적인 비가 모두 같다고 하자. 그리고 두 번째 수가 첫 번째 수의 배수가 아니라고 하자. 그러면 어떠한 수의 배수도 다른 수가 될 수 없다.
수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)에 대하여 이 수들의 연속적인 비가 같다. 즉, \(a:b=b:c=c:d=d:e\)이다. 그리고 \(b\)는 \(a\)의 배수가 아니다. 그러면 어떠한 수이 배수도 다른 수가 될 수 없다.
연속적인 비를 갖는 몇 개의 수가 있고 마지막 수가 첫 번째 수의 배수이면 두 번째 수도 첫 번째 수의 배수이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 모두 같다. 그리고 \(d\)는 \(a\)의 배수이다. 그러면 \(b\)도 \(a\)의 배수이다.
서로 다른 두 수 사이에 연속적인 비가 일정하도록 여려 개의 수를 넣었다고 하자. 또 다른 두 수가 서로 다른 두 수의 비와 같으면 그 다른 두 수 사이에도 이전과 같은 개수로 연속적인 비가 같도록 수를 넣을 수 있다.
서로 다른 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)가 \(a< c< d < b\)이고 연속적인 비 \(a:c=c:d=d:b\)를 만족한다. 그리고 두 수 \(e\), \(f\)는 \(e:f=a:b\)라 하자. 그러면 연속적인 비 \(e:m=m:n=n:f\)를 만족하는 \(e< m< n< f\)인 수 \(c\), \(d\)와 같은 개수의 수 \(m\), \(n\)이 존재한다.
어떤 두 수가 서로소이다. 이 두 수 사이에 여러 개의 수들을 넣어서 연속적인 비가 같도록 하였다고 하자. 그러면 그 사이에 넣은 수들이 몇 개이든 단위 수(\(1\))와 이 두 수 사이에 각각 같은 개수의 수들을 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소이다. \(a< c< d< b\)인 수 \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:c=c:d=d:b\)이 성립한다고 하자. \(e\)가 단위수라 하자. 그러면 여러 개의 수 \(c\), \(d\)를 \(a\), \(b\) 사이에 넣어 연속적인 비가 같도록 잡을 수 있으면, \(a\), \(b\)와 단위수 사이에 같은 개수만큼의 수를 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.
두 수와 단위수 사이에 각각 어떤 수들을 넣어서 연속적인 비가 같도록 만들자. 그러면 어떤 수들이 몇 개든지 두 수 사이에 이전의 같은 개수 만큼 넣어서 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)와 단위수 \(c\)에 대하여, 수 \(d\), \(e\)와 \(f\), \(g\)는 \(c< d< e< a\), \(c< f< g< b\)이며 연속적인 비 \(c:d=d:e=e:a\)와 연속적인 비 \(c:f=f:g=g:b\)가 같다고 하자. 그러면 \(a< k< l< b\)이고 연속적인 비 \(a:k=k:l=l:b\)가 이전 연속적인 비와 같은 어떤 수 \(k\), \(l\)이 존재한다.
두 제곱수 사이에는 하나의 수를 넣어 비례 중항을 만들 수 있다. 그리고 제곱수와 제곱수의 비율은 평면수의 변의 비율의 제곱이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)는 각각 \(a\), \(b\)의 변이다. 그러면 \(a< e< b\)이고 \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같은 수 \(e\)가 존재한다. 그리고 \(a:b=c^2:d^2\)이다.
두 세제곱수 사이에는 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 세제곱수와 세제곱수의 비율은 그 수들의 입체수의 변의 비율의 세제곱비와 같다.
세제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변은 \(d\)라 하자. 그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 \(a:b=c^3:d^3\)이다.
연속적인 비가 같은 수들이 있다. 이들 수들을 제곱해서 제곱수를 만들자. 그러면 이들 수들도 연속적인 비가 같다. 또한 이들 수들의 제곱수를 만들자. 그러면 이들 수들의 연속적인 비도 같다.
몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다. 즉, \(a:b=b:c\)이다. 그러면 수 \(d\), \(e\), \(f\)를 \(d=a^2\), \(e=b^2\), \(f=c^2\)이라 하자. 그러면 \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비도 같다. 즉, \(d:e=e:f\)이다. 또한 수 \(g\), \(h\), \(k\)를 \(g=d^2\), \(h=e^2\), \(k=f^2\)이라 하자. 그러면 \(g\), \(h\), \(k\)의 연속적인 비도 같다. 즉, \(g:h=h:k\)이다.
제곱수가 어떤 제곱수이 배수이면, 평면수의 변은 어떤 평면수의 변의 배수이다. 역으로 평면수의 변이 어떤 평면수의 변의 배수이면, 제곱수는 어떤 제곱수의 배수이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 평면수 \(a\), \(b\)의 변을 각각 \(c\), \(d\)라 하자. 그러면 \(b\)가 \(a\)의 배수라 하자. 그러면 \(d\)는 \(c\)의 배수이다. 역으로 \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자. 그러면 \(b\)는 \(a\)의 배수이다.
세제곱수가 어떤 세제곱수의 배수이면 이 입체수의 변은 어떤 입체수의 변의 배수이다. 역으로 입체수의 변이 어떤 입체수의 변을 배수이면 이들의 세제곱수는 어떤 세제곱수의 배수이다.
수 \(a\), \(b\)가 세제곱수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변을 \(d\)라 하자. \(b\)는 \(a\)의 배수라고 하자. 그러면 \(d\)가 \(c\)의 배수이다. 역으로 \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자. 그러면 \(b\)가 \(a\)의 배수이다.
어떤 제곱수가 다른 어떤 제곱수를 나누지 못하면, 어떤 변은 다른 어떤 변을 나누지 못한다. 역으로 어떤 변이 다른 어떤 변을 나누지 못하면 어떤 제곱수는 다른 어떤 제곱수를 나누지 못한다.
수 \(a\), \(b\)가 제곱수라 하고 이들의 변을 각각 \(c\), \(d\)라 하자. \(a\)가 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못한다. 역으로 \(c\)가 \(d\)를 나누지 못하면 역시 \(a\)도 \(b\)를 나누지 못한다.
어떤 세제곱수가 다른 세제곱수를 나누지 못하면 어떤 변은 다른 어떤 변을 나누지 못한다. 역으로 어떤 변이 다른 어떤 변을 나누지 못하면 어떤 세제곱수는 다른 어떤 세제곱수를 나누지 못한다.
수 \(a\), \(b\)는 세제곱수이고 \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변을 \(d\)라 하자. \(a\)가 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못한다. 역으로 \(c\)가 \(d\)를 나누지 못하면 \(a\)가 \(b\)를 나누지 못한다.
두 닮은 평면수 사이에 비례 중항이 되는 한 개의 수가 존재한다. 그리고 두 닮은 평면수의 비는 대응하는 변들의 비의 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(d\)라 하고 \(b\)의 변을 \(e\), \(f\)라 하자. 두 평면수 \(a\), \(b\)가 닮음이므로 \(c:d=e:f\)이다. [VIII권 정의 21] 그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항인 수 한 개가 있으며, 비 \(a:b\)는 평면수의 대응하는 변의 비의 제곱과 같다. 즉, \(a:b=c^2:e^2=d^2:f^2\)이다.
두 닮은 입체수 사이에는 비례 중항이 두 개가 있다. 그리고 닮은 입체수의 비는 대응하는 변들의 세제곱 비와 같다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 입체수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(d\), \(e\)라 하고, \(b\)의 변을 \(f\), \(g\), \(h\)라 하자. 닮은 입체수란 대응하는 변들의 비와 같으므로 \(c:d=f:g\), \(d:e=g:h\)이다. [VII권 정의 21] 그러면 \(a\), \(b\) 사이에는 비례 중항이 두 개가 있으며, \(a:b=c^3:f^3=d^3:g^3=e^3:h^3\)이다.
두 수 사이에는 비례 중항이 한 개 있으면 두 수는 닮은 평면수이다.
두 수 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항 \(c\)가 유일하게 존재한다고 하자. 그러면 두 \(a\), \(b\)는 닮은 평면수이다.
두 수 사이에 비례 중항이 두 개 있으면, 두 수는 닮은 입체수이다.
두 수 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항 \(c\), \(d\)가 있다고 하자. 그러면 \(a\), \(b\)는 닮은 입체수이다.
세 수의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라고 하자. 그러면 세 번째 수도 제곱수이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다고 하자. \(a\)가 제곱수이면 \(c\)도 제곱수이다.
네 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 첫 번째 수가 세제곱 수라고 하자. 그러면 네 번째 수도 세제곱 수이다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적이 비가 같다고 하자. 그리고 \(a\)가 세제곱 수라 하자. 그러면 \(d\)도 세제곱 수이다.
두 수의 비가 제곱수의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라 하자. 그러면 두 번째 수도 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 두 제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이라 하자. 그리고 \(a\)가 제곱수라고 하자. 그러면 \(b\)도 제곱수이다.
두 수의 비가 세제곱의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 세제곱 수이라 하자. 그러면 두 번째 수도 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 세제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이다. 그리고 \(a\)가 세제곱수이다. 그러면 \(b\)도 세제곱수이다.
닮은 입체수의 비는 어떤 세제곱 수의 비와 같다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 입체수라 하자. 그러면 \(a\), \(b\)의 비가 어떤 세제곱 수의 비와 같다.