VIII 권
명제
몇 개의 주어진 비와 같으며 가장 작은 수들이 있다고 하자. 이때 연속적인 비가 이전 비와 같은 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
몇 개의 주어진 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같으며 가장 작은 수 \(a\)와 \(b\), \(c\)와 \(d\), \(e\)와 \(f\)가 있다. 그러면 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)의 연속적인 비 \(h:g\), \(g:k\), \(k:l\)이 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(h:g:k:l\)의 비와 같은 수들 중 가장 작은 수인 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)을 구할 수 있다.
몇 개의 주어진 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같으며 가장 작은 수 \(a\)와 \(b\), \(c\)와 \(d\), \(e\)와 \(f\)가 있다.
그러면 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)의 연속적인 비 \(h:g\), \(g:k\), \(k:l\)이 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(h:g:k:l\)의 비와 같은 수들 중 가장 작은 수인 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)을 구할 수 있음을 보여야 한다.
\(b\), \(c\)의 최소공배수를 \(g\)라 하자. [VII권 명제 34]
어떤 수 \(n_1\)에 대하여 \(g=n_1b\)인 것처럼 h를 같은 어떤 수 \(n_1\)에 대하여 \(h=n_1a\)라 하자. 그리고 어떤 수 \(n_2\)에 대하여 \(g=n_1c\)인 것처럼 \(k\)를 같은 어떤 수 \(n_2\)에 대하여 \(k=n_2d\)라 하자.
그러면 \(k\)는 \(e\)의 배수이거나 \(e\)의 배수가 아니다.
1) \(k\)가 \(e\)의 배수라고 가정하자.
어떤 수 \(n_3\)에 대하여 \(k=n_3e\)인 것처럼 \(l\)을 같은 어떤 수 \(n_3\)에 대하여 \(l=n_3f\)이라고 하자.
\(h=n_1a\), \(g=n_1b\)이므로 \(a:b=h:g\)이다. [VII권 정의 20, 명제 13]
같은 이유로 \(c:d=g:k\)이고, \(e:f=k:l\)이다. 그러므로 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)을 차례로 두 개씩의 비율을 구하면 \(h:g=a:b\), \(g:k=c:d\), \(k:l=e:f\)이다. 그러므로 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)의 연속적인 비 \(h:g\), \(g:k\), \(k:l\)이 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같다.
이제 수 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)의 비 \(h:g:k:l\)와 같은 비를 갖는 수들의 중에서 가장 작음을 보이자.
만약 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)의 연속적인 비 \(h:g\), \(g:k\), \(k:l\)이 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 각각 같지만 비 \(h:g:k:l\)와 같은 비를 갖는 수들 중에서 가장 작은 수가 아니라고 하자. 그러면 \(h:g:k:l\)과 같은 비를 갖는 수들 중에서 가장 작은 수를 \(n\), \(o\), \(m\), \(p\)라 하자.
\(a:b=n:o\)이고 \(a:b\)는 이 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수이므로 가장 작은 수들은 이 비와 같은 수들의 배수이다. 즉, 큰 수는 큰 수의 배수이고, 작은 수는 작은 수의 배수이다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(o\)는 \(b\)의 배수이다.
같은 논리로 \(o\)는 \(c\)의 배수이다. 그러므로 \(o\)는 \(b\), \(c\)의 공배수이다. 그러므로 \(o\)는 \(b\), \(c\)의 최소공배수의 배수이기도 하다. [VII권 명제 35]
그런데 \(b\), \(c\)의 최소공배수는 \(g\)이므로 \(o\)는 \(g\)의 배수이다. 그런데 \(o< g\)이므로 작은 수가 큰 수의 배수인 것은 모순이다. 그러므로 \(h\), \(g\), \(k\), \(l\)보다 더 작으면서 연속적인 비 \(h:g\), \(g:k\), \(k:l\)이 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 각각 같은 수들은 없다.
2) \(k\)는 \(e\)의 배수가 아니라고 하자.
\(e\), \(k\)의 최소공배수를 \(m\)이라고 하자. 어떤 수 \(n_4\)에 대하여 \(m=n_4k\)인 것처럼 \(n\), \(o\)를 이전의 같은 어떤 수 \(n_4\)에 대하여 \(n=n_4h\) \(o=n_4g\)라 하자. 어떤 수 \(n_5\)에 대하여 \(m=n_5e\)인 것처럼 \(p\)를 이전의 같은 어떤 수 \(n_5\)에 대하여 \(p=n_5e\)라 하자.
\(n=n_4h\), \(o=n_4g\)이므로 \(h:g=n:o\)이다. [VII권 명제 13, 정의 20] 그런데 \(h:g=a:b\)이다. 따라서 \(a:b=n:o\)이다. 같은 논리로 \(c:d=o:m\)이다.
\(m=n_5e\), \(p=n_5f\)이므로 \(e:f=m:p\)이다. [VII권 명제 13, 정의 20] 그러므로 \(n\), \(o\), \(m\), \(p\)의 연속적인 비는 \(n:o\), \(o:m\), \(m:p\)는 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같다.
이제 수 \(n\), \(o\), \(m\), \(p\)가 연속적인 비 \(n:o\), \(o:m\), \(m:p\)는 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(n:o:m:p\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수임을 보이자.
\(n\), \(o\), \(m\), \(p\)가 연속적인 비 \(n:o\), \(o:m\), \(m:p\)는 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(n:o:m:p\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수가 아니라고 하자. 그러면 연속적인 비가 각각 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같으며 \(n:o:m:p\)의 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수를 \(q\), \(r\), \(s\), \(t\)라 하자.
그러면 \(q:r=a:b\)이고 \(a\), \(b\)는 비 \(a:b\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수이므로 가장 작은 수들은 이 비와 같은 수들은 가장 작은 수들의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고, 작은 수는 작은 수의 배수이다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(r\)은 \(b\)의 배수이다.
같은 논리로 \(r\)은 \(c\)의 배수이다. 그러므로 \(b\), \(c\)의 공배수는 \(b\), \(c\)의 최소공배수의 배수이다. 그런데 \(b\), \(c\)의 최소공배수는 \(g\)이므로 \(r\)은 \(g\)의 배수이다.
그런데 \(g:r=k:s\)이다. [VII권 명제 13] 그러므로 \(s\)는 \(k\)의 배수이다.
그런데 \(s\)는 \(e\)의 배수이다. 그러므로 \(s\)는 \(e\), \(k\)의 공배수이다.
그러므로 \(s\)는 \(e\), \(k\)의 최소공배수의 배수이다. [VII권 명제 35]
그런데 \(e\), \(k\)의 최소공배수는 \(m\)이므로 \(s\)는 \(m\)의 배수이다. 그러나 \(s< m\)이므로 작은 수가 큰 수의 배수라는 것은 모순이다.
그러므로 \(n\), \(o\), \(m\), \(p\)보다 더 작으면서 연속적인 비가 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(n:o:m:p\)와 같은 수들은 없다. 그러므로 수 \(n\), \(o\), \(m\), \(p\)가 연속적인 비 \(n:o\), \(o:m\), \(m:p\)는 각각 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)와 같고 비 \(n:o:m:p\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수이다.
그러므로 몇 개의 주어진 비와 같으며 가장 작은 수들이 있다고 하자. 이때 연속적인 비가 이전 비와 같은 가장 작은 수들을 구할 수 있다.
Q.E.D.
이것은 [VIII권 명제 2]를 더 일반적인 개념인 연속적인 비 개념으로 일반화한 것이다. 이 명제에서 반드시 일정하지 않은 비율을 갖는 연속 비에 대해서도 만족한다.
이들의 비도 아마도, 연속된 비이라고 불러야 할 것이다. 예를 들어, 연속적인 비 \(5:10:20\)은 \(1:2\)의 일정한 비율을 가지지만, 연속적인 비 \(5:10:30\)은 그렇지 않다. 비 \(5:10:30\)은 첫 번째 비율은 \(1:2\)이고, 두 번째 비율은 \(1:3\)이다. \(1:2:6\)이 \(1:2\)와 \(1:3\)의 동일한 비로 더 작기 때문에 연속적인 비 \(5:10:30\)은 주어진 비로 최소인 비가 아니다.
이 명제는 주어진 비의 연속적인 비를 만족하는 가장 작은 수를 구하는 것이다.
연속적인 비 \(3:7:2:6\)을 만족하는 네 개의 수들과 연속적인 비 \(10:4:5\)를 만족하는 세 개의 수가 있다. 앞의 네 수의 마지막 수와 뒤의 세 수의 처음 수가 같게 하는 \(7\)개의 수들을 구하여 보자.
연속적인 비 \(3:7:2:6\)을 만족하는 네 개의 수 중 네 번째 수와 연속적인 비 \(10:4:5\)를 만족하는 세 개의 중 첫 번째 수를 보자. 앞의 네 번째 수는 \(6\)의 배수이고, 뒤의 첫 번째 수는 \(10\)의 배수이다. 이 수들이 \(6\)의 배수이면서 \(10\)의 배수인 것은 \(6\)과 \(10\)의 최소공배수의 배수들이 만족하고 가장 작은 수인 최소공배수가 이를 만족하므로 최소공배수를 구하자. \(6\), \(10\)의 최소공배수는 \(\text{lcm}\left(6,10\right)=30\)이다.
앞의 \(3:7:2:6\)에서 \(6\)이 \(30\)이 되기 위해서는 \(5\)를 곱하여야 하고 이 \(5\)를 모든 항에 곱한다. 그러면 \(15:35:10:30\)이다. 또한 뒤의 \(10:4:5\)에서 \(10\)이 \(30\)이 되기 위해서는 \(3\)을 곱하면 되고 모든 항에 \(3\)을 곱하자. 그러면 \(30:12:15\)이다.
그러므로 \(15:35:10:30\)과 \(30:12:15\)을 합치면 \(15:35:10:30:12:15\)이다.
이 명제를 대수적으로 증명하여 보자.
주어진 비 \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\)는 각각 모든 수는 주어진 비와 같은 수들 중 모두 작은 수이다. 두 율 \(a: b\)와 \(c: d\)를 세 항의 비 \(h: g: k\)가 \(h: g = a: b\), \(g: k = c: d\)가 되게 합치자. \(g = \text{lcm}\left(b, c\right)\), \(h = \frac gb\cdot a\), \(k = \frac gc \cdot d\)로 정의하면 \(h:g:k\)는 위 비와 같다.
다음으로, 세 항 비 \(h:g:k\)를 비 \(e:f\)와 합쳐서 네 항 비 \(n:o:m:p\)를 구하여 \(n:o=a:b\), \(o:m=c:d\), \(m:p=c:d\)가 되도록 하자. \(m = \text{lcm}\left(e, k\right)\), \(n = \frac mk\cdot h\), \(o = \frac mk\cdot g\), \(p = \frac me\cdot f\)로 정의하면 위 비와 같다. \(n\), \(o\), \(m\), \(p\)는 비 \(n : o : m : p\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수이다
대부분의 증명은 결과 비율 \(n : o : m : p\)가 주어진 비율로 가장 작다는 것을 보여주는 것으로 구성되었다.
이 명제는 다음 명제와 [X권 명제 12]에서 사용된다.