VIII 권
명제
어떤 세제곱수가 다른 세제곱수를 나누지 못하면 어떤 변은 다른 어떤 변을 나누지 못한다. 역으로 어떤 변이 다른 어떤 변을 나누지 못하면 어떤 세제곱수는 다른 어떤 세제곱수를 나누지 못한다.
수 \(a\), \(b\)는 세제곱수이고 \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변을 \(d\)라 하자. \(a\)가 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못한다. 역으로 \(c\)가 \(d\)를 나누지 못하면 \(a\)가 \(b\)를 나누지 못한다.
수 \(a\), \(b\)는 세제곱수이고 \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변을 \(d\)라 하자.
그러면 \(a\)가 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못함을 보여야 한다.
만약 \(c\)가 \(d\)를 나누면 \(a\)는 \(b\)를 나눈다. [VIII권 명제 15] 그런데 \(a\)가 \(b\)를 나누지 못한다고 하였으므로 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못한다.
역으로 \(c\)가 \(d\)를 나누지 못하면 \(a\)가 \(b\)를 나누지 못함을 보여야 한다.
\(a\)가 \(b\)를 나누면 \(c\)도 \(d\)를 나눈다. [VIII권 명제 15] 그런데 \(c\)는 \(d\)를 나누지 못하므로 \(a\)도 \(b\)를 나누지 못한다.
그러므로 어떤 세제곱수가 다른 세제곱수를 나누지 못하면 어떤 변은 다른 어떤 변을 나누지 못한다. 역으로 어떤 변이 다른 어떤 변을 나누지 못하면 어떤 세제곱수는 다른 어떤 세제곱수를 나누지 못한다.
Q.E.D.
이 명제는 [VIII권 명제 15]의 대우명제이다.