VIII 권
명제
명제 12
두 세제곱수 사이에는 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 세제곱수와 세제곱수의 비율은 그 수들의 입체수의 변의 비율의 세제곱비와 같다.
세제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변은 \(d\)라 하자. 그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 \(a:b=c^3:d^3\)이다.
VIII 권
명제
두 세제곱수 사이에는 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 세제곱수와 세제곱수의 비율은 그 수들의 입체수의 변의 비율의 세제곱비와 같다.
세제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변은 \(d\)라 하자. 그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 \(a:b=c^3:d^3\)이다.
세제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변은 \(d\)라 하자.
그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있고 \(a:b=c^3:d^3\)임을 보여야 한다.
두 수 \(e\), \(f\)를 \(e=c^2\), \(f=c\cdot d\)라 하자. 그리고 세 수 \(g\), \(h\), \(k\)는 \(g=d^2\), \(h=c\cdot f\), \(k=d \cdot f\)라 하자.
\(a\)는 세제곱수이고 \(c\)는 \(a\)의 변이다. \(e=c\cdot c\)이므로 \(a=c\cdot e\)이다. \(g=d\cdot d\)이므로 같은 논리로 \(b=d\cdot g\)이다.
\(e=c\cdot c\), \(f=d\cdot d\)이므로 \(c:d=e:f\)이다. [VII권 명제 17] 같은 논리로 \(c:d=f:g\)이다. [VII권 명제 18] \(a=c\cdot e\), \(h=c\cdot f\)이므로 \(e:f=a:h\)이다. [VII권 면제 17] 그런데 \(e:f=c:d\)이다. 그러므로 \(c:d=a:h\)이다.
\(h=c\cdot f\), \(k=d\cdot f\)이므로 \(c:d=h:k\)이다. [VII권 명제 18] \(k=d\cdot f\), \(b=d\cdot g\)이므로 \(f:g=k:b\)이다. [VII권 명제 17]
\(f:g=c:d\)이다. 그러므로 \(c:d=a:h=h:k=k:b\)이다. 따라서 \(a:h=h:b\), \(a:k=k:b\)이다. 그러므로 \(h\), \(k\)는 \(a\), \(b\) 사이에 있는 두 비례중항들이다.
그 다음으로는 \(a:b=c^3:d^3\)임을 보이자.
네 수 \(a\), \(h\), \(k\), \(b\)가 연속적이 비가 같으므로 \(a:h=h:k=k:b\)이다. 따라서 \(a:b=a^3:h^3\)이다. [V권 정의 10]
그런데 \(a:h=c:d\)이다. 그러므로 \(a:b=c^3:d^3\)이다.
그러므로 두 세제곱수 사이에는 비례 중항이 성립하는 수가 두 개있다. 그리고 세제곱수와 세제곱수의 비율은 그 수들의 입체수의 변의 비율의 세제곱비와 같다.
Q.E.D.
\(c^3:d^3\)의 비례중항의 두 수는 \(c^2d\), \(cd^2\)이다. 그리고 \(c^3:d^3\)는 \(c:d\)의 세제곱비이다.