VIII 권
명제
서로 다른 두 수 사이에 연속적인 비가 일정하도록 여려 개의 수를 넣었다고 하자. 또 다른 두 수가 서로 다른 두 수의 비와 같으면 그 다른 두 수 사이에도 이전과 같은 개수로 연속적인 비가 같도록 수를 넣을 수 있다.
서로 다른 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)가 \(a< c< d < b\)이고 연속적인 비 \(a:c=c:d=d:b\)를 만족한다. 그리고 두 수 \(e\), \(f\)는 \(e:f=a:b\)라 하자. 그러면 연속적인 비 \(e:m=m:n=n:f\)를 만족하는 \(e< m< n< f\)인 수 \(c\), \(d\)와 같은 개수의 수 \(m\), \(n\)이 존재한다.
서로 다른 두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)가 \(a< c < d< b\)이고 \(a:c=c:d=d:b\)를 만족한다. 그리고 두 수 \(e\), \(f\)는 \(e:f=a:b\)라 하자.
그러면 연속적인 비 \(e:m=m:n=n:f\)를 만족하는 \(e< m< n< f\)인 수 \(c\), \(d\)와 같은 개수의 수 \(m\), \(n\)이 존재함을 보여야 한다.
\(a< c< d< b\)인 수 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)에 대하여 \(a:c:d:b\)와 같은 비를 가지며 가장 작은 수인 \(g\), \(h\), \(k\), \(l\)을 잡자. [VII권 명제 33] 그러면 양 끝의 수 \(g\), \(l\)은 서로소이다. [VIII권 명제 3]
\(a:c:d:b=g:h:k:l\)이고 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)의 개수와 \(g\), \(h\), \(k\), \(l\)의 개수가 같으므로 같은 위치에 있는 수들이 비가 같다. 즉, \(a:b=g:l\)이다. [VII권 명제 14] (V권 명제 11)
그런데 \(a:b=e:f\)이므로 \(g:l=e:f\)이다.
그런데 \(g\), \(l\)은 서로소이다. 서로소인 두 수들이 비는 이 수들이 비와 같은 수 중에서 가장 작다. [VII권 명제 21] 그리고 이 비와 같은 수들은 가장 작은 수의 배수이다. 큰 수는 큰 수의 배수이고, 작은 수는 작은 수의 배수이다 두 배수의 수는 같다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(e\)는 \(g\)의 배수이고 어떤 수 \(o\)에 대하여 \(e=og\)이듯이 \(f\)는 \(l\)의 배수이며 이전과 같은 어떤 수 \(o\)에 대하여 \(f=ol\)이다.
\(e=og\)인 어떤 수 \(o\)에 대하여, 수 \(m\), \(n\)을 \(m=oh\), \(n=ok\)라 하자. 그러면 \(e=og\), \(m=oh\), \(n=ok\), \(f=ol\)이므로 \(g:h:k:l=e:m:n:f\)이다. [VII권 정의 20]
그런데 \(g:h:k:l=a:c:d:b\)이다. 그러므로 \(a:c:d:b=e:m:n:f\)이다.
그런데 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)는 연속적인 비가 같으므로 \(a:c=c:d=d:b\)이므로 \(e\), \(m\), \(n\), \(f\)의 연속적인 비도 같아 \(e:m=m:n=n:f\)이다. 그러므로 \(a\), \(b\) 사이에 \(a< c< d< b\)이고 수 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)가 연속적인 비가 같도록 몇 개의 수 \(c\), \(d\)를 넣든, 그 개수와 같은 수들 \(m\), \(n\)을 \(e\), \(f\) 사이에 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.
그러므로 서로 다른 두 수 사이에 연속적인 비가 일정하도록 여려 개의 수를 넣었다고 하자. 또 다른 두 수가 서로 다른 두 수의 비와 같으면 그 다른 두 수 사이에도 이전과 같은 개수로 연속적인 비가 같도록 수를 넣을 수 있다.
Q.E.D.
\(a:b=e:f\)이고 \(a\)와 \(b\) 사이에 일정한 수의 항을 넣어 연속적인 비가 같으면 \(e\)와 \(f\) 사이에 동일한 수의 항을 이전의 연속적인 비와 같게 넣을 수 있다.
예를 들어, \(18:50=63:175\)이고, \(18\)과 \(50\) 사이에 \(30\)을 넣으면 비 \(18:30:50\)의 연속적인 비가 같다. 그러면 \(63\)과 \(175\) 사이에 한 개의 수를 넣어 같은 연속적인 비가 되도록 할 수 있다. 원래 연속적인 비를 가장 작은 항 \(9:15:25\)로 줄인 다음 원하는 연속적인 비 \(63:105:175\)로 확장하여 찾을 수 있다.
이 명제는 [VIII권]에서 더 이상 사용되지 않는다. 그런데 [IX권] 처음 6개의 명제에서 사용된다.