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증명

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두 수 \(a\), \(b\)가 서로소이다. \(a< c< d< b\)인 수 \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:c=c:d=d:b\)이 성립한다고 하자. \(e\)가 단위수라 하자.

그러면 여러 개의 수 \(c\), \(d\)를 \(a\), \(b\) 사이에 넣어 연속적인 비가 같도록 잡을 수 있으면, \(a\), \(b\)와 단위수 사이에 같은 개수만큼의 수를 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있음을 보여야 한다.

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수 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)의 연속적인 비와 같은 면서(즉 \(f:g=a:b\)) 가장 작은 수를 \(f\), \(g\)라 하자. 같은 조건을 만족하는 세 수를 \(h\), \(k\), \(l\)이라 하자. 같은 조건을 만족하는 개수가 수 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)와 같은 수들은 \(m\), \(n\), \(o\), \(p\)라 하자. [VIII권 명제 2]

\(h=f^2\), \(m=fh\), \(l=g^2\), \(p=gl\)이 된다. [VIII권 명제 2 따름 명제]

\(m\), \(n\), \(o\), \(p\)는 이 수들의 연속적인 비 \(m:n=n:o=o:p\)가 비 \(f:g\)와 같으면서 가장 작은 수들이다. [VIII권 명제 1] 그리고 \(m\), \(n\), \(o\), \(p\)의 개수와 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)의 개도 같다. 그러므로 \(m\), \(n\), \(o\), \(p\)와 \(a\), \(c\), \(d\), \(b\)는 각각 같다. 그러므로 \(m=a\), \(p=b\)이다.

\(h=f^2\)이므로 \(f=f\cdot e\), \(h=f\cdot f\)이다. 그런데 \(f\)는 \(e\)의 배수이고, \(h\)는 \(f\)의 배수이며 어떤 수 \(f\)에 대하여 \(f=f\cdot e\)이고 같은 수 \(f\)에 대하여 \(h=f\cdot f\)이다.

그러므로 \(e:f=f:h\)이다. [VII권 정의 20]

\(m=f\cdot h\)이므로 수 \(f\)에 대하여 \(m=f\cdot h\)이고 같은 수 \(f\)에 대하여 \(f=f\cdot e\)이다. 그러므로 \(m=f\cdot h\)이고 \(f=f\cdot e\)이므로 \(e:f=h:m\)이다.

그런데 \(e:f=f:h\)임을 보였다. 그러므로 비 \(e:f=f:h\)은 비 \(h:m\)과 같다. 그런데 \(m=a\)이므로 \(e:f=f:h=h:a\)이다.

같은 논리로 \(e:g=g:l=l:b\)이다. 그러면 여러 개의 수 \(c\), \(d\)를 \(a\), \(b\) 사이에 넣어 연속적인 비가 같도록 잡을 수 있으면, \(a\), \(b\)와 단위수 사이에 같은 개수만큼의 수를 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.

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그러므로 어떤 두 수가 서로소이다. 이 두 수 사이에 여러 개의 수들을 넣어서 연속적인 비가 같도록 하였다고 하자. 그러면 그 사이에 넣은 수들이 몇 개이든 단위수(\(1\))와 이 두 수 사이에 각각 같은 개수의 수들을 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.

Q.E.D.

부연설명

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만약 \(a\), \(b\)가 서로소이고, \(n\)개 항을 갖는 연속적 비가 같은 각각 항들의 첫째 항과 끝 항이라면, \(a\), \(b\)는 각각 \((n-1)\) 거듭제곱을 갖는다.

예를 들어, \(a = 8\)과 \(b = 27\)은 상대 소수로, 연속 비율 \(8: 12: 18: 27\)의 끝이므로, \(8\)과 \(27\)은 모두 세제곱근이다.

이 명제는 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하고, 연속적이 비가 같은 양 끝의 수라고 하자. \(f:g\)가 가장 작은 연속적인 비라고 하자. 그러면 \(a=f^{n-1}\), \(b=g^{n-1}\)임을 보이는 것이다. 다음과 같이 n개의 수들을 만들 수 있다.

\(f^{n-1}, f^{n-2}g, f^{n-3}g^2, \cdots, fg^{n-2}, g^{n-1}\)

[VIII권 명제 1]에 의해서, 첫 번째 수와 끝 수가 서로소이다.