VIII 권
명제
명제 7
연속적인 비를 갖는 몇 개의 수가 있고 마지막 수가 첫 번째 수의 배수이면 두 번째 수도 첫 번째 수의 배수이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 모두 같다. 그리고 \(d\)는 \(a\)의 배수이다. 그러면 \(b\)도 \(a\)의 배수이다.
VIII 권
명제
연속적인 비를 갖는 몇 개의 수가 있고 마지막 수가 첫 번째 수의 배수이면 두 번째 수도 첫 번째 수의 배수이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 모두 같다. 그리고 \(d\)는 \(a\)의 배수이다. 그러면 \(b\)도 \(a\)의 배수이다.
수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 모두 같다. 그리고 \(d\)는 \(a\)의 배수이다.
그러면 \(b\)도 \(a\)의 배수임을 보여야 한다.
\(b\)가 \(a\)의 배수가 아니라고 하자. 그러면 어떤 수의 배수도 다른 수가 될 수 없다. 즉 \(d\)는 \(a\)의 배수가 될 수 없다. [VIII권 명제 6]
그런데 \(d\)는 \(a\)의 배수이다. 이것은 모순이다. 그러므로 \(b\)는 \(a\)의 배수이다.
그러므로 연속적인 비를 갖는 몇 개의 수가 있고 마지막 수가 첫 번째 수의 배수이면 두 번째 수도 첫 번째 수의 배수이다.
Q.E.D.
이 명제는 이전 명제의 대우명제이다.
이 명제는 [VIII권 명제 14], [VIII권 명제 15]에서 사용된다.