VIII 권
명제
차례로 구한 비율이 같은 수들이 몇 개가 있다고 하자. 그리고 양 끝의 수가 서로소라고 하자. 그러면 이 수들이 이 수들과 비율과 같은 수들 중 가장 작은 수들이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 연속된 비 \(a:b=b:c=c:d\)를 만족하고 \(a\), \(d\)는 서로소라고 하자. 그러면 네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 연속된 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 네 개의 수들 중에서 가장 작은 수들이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 비 \(a:b=b:c=c:d\)이고 \(a\), \(d\)는 서로소라고 하자.
그러면 네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 네 개의 수들 중에서 가장 작은 수들임을 보여야 한다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 가장 작은 수가 아니라고 하자.
그러면 \(e< a\), \(f < b\), \(g < c\), \(h< d\)이며 비 \(e:f=f:g=g:h\)가 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 네 수 \(e\), \(f\), \(g\), \(h\)가 존재한다.
비 \(e:f=f:g=g:h\)가 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같고, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 개수가 \(e\), \(f\), \(g\), \(h\)의 개수와 같으므로 같은 위치에 있는 수의 비율이 같아서 \(a:d=e:h\)이다. [VII권 명제 14]
\(a\), \(d\)는 서로소이다. 서로소인 두 수는 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이고 [VII권 명제 20], 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 비율이 같은 수들을 같은 배수의 비율이다. 즉, 큰 수가 큰 수의 약수인 것과 같이 작은 수가 작은 수의 약수이며 이전과 같은 약수의 개수를 갖는다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(a\)는 \(e\)의 약수이다. \(a\)가 \(e\)의 약수인데, \(a>e\)이므로 큰 수가 작은 수의 약수라는 것은 모순이다.
그러므로 \(e\), \(f\), \(g\), \(h\)가 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)보다 작으며 비 \(a:b=b:c=c:d\)과 같을 수 없다. 그러므로 네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 네 수 중에서 가장 작은 수이다.
그러므로 차례로 구한 비율이 같은 수들이 몇 개가 있다고 하자. 그리고 양 끝의 수가 서로소라고 하자. 그러면 이 수들이 이 수들과 비율과 같은 수들 중 가장 작은 수들이다
Q.E.D.
\(n\)개의 수 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(\cdots\), \(a_n\)이 연속적인 정수 비라 하면 다음과 같은 비가 성립한다.
\(a_1:a_2=a_2:a_3=a_3:a_4=\cdots=a_{n-1}:a_n\)
[VIII권 명제 4]에 의해서, 연속적인 정수 비가 아닐 때도 성립한다.
이 명제의 한 예를 들어보자. 연속적인 정수 비 \(1250:750=750:450=450:270=270:162\)은 \(5:3\)으로 같다.
현대적인 표현으로는, \(n\)개의 수 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(\cdots\), \(a_n\)이 연속적인 정수 비 \(a_1:a_2=a_2:a_3=a_3:a_4=\cdots=a_{n-1}:a_n\) 가 성립하면, \(n\)개의 수 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(\cdots\), \(a_n\)은 등비수열(geometric progression 또는 geometric sequence)이라고 한다. 등비수열의 연속적인 쌍의 비는 상수 비이다.
[VIII권], [IX권]의 많은 명제에서 등비수열을 다룬다. 등비수열의 합은 [IX권 명제 35]에서 다룬다.
이 명제는 다음 명제와 [VIII권 명제 9], [VIII권 명제 3]에서 사용된다.