VIII 권
명제
두 닮은 입체수 사이에는 비례 중항이 두 개가 있다. 그리고 닮은 입체수의 비는 대응하는 변들의 세제곱 비와 같다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 입체수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(d\), \(e\)라 하고, \(b\)의 변을 \(f\), \(g\), \(h\)라 하자. 닮은 입체수란 대응하는 변들의 비와 같으므로 \(c:d=f:g\), \(d:e=g:h\)이다. [VII권 정의 21] 그러면 \(a\), \(b\) 사이에는 비례 중항이 두 개가 있으며, \(a:b=c^3:f^3=d^3:g^3=e^3:h^3\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 입체수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(d\), \(e\)라 하고, \(b\)의 변을 \(f\), \(g\), \(h\)라 하자. 닮은 입체수란 대응하는 변들의 비와 같으므로 \(c:d=f:g\), \(d:e=g:h\)이다. [VII권 정의 21]
그러면 \(a\), \(b\) 사이에는 비례 중항이 두 개가 있으며, \(a:b=c^3:f^3=d^3:g^3=e^3:h^3\)임을 보여야 한다.
수 \(k\)를 \(k=c\cdot d\)라 하자. 수 \(l\)을 \(l=f\cdot g\)라 하자. \(c:d=f:g\)이고 \(k=c \cdot d\), \(l=f\cdot g\)이므로 두 수 \(k\), \(l\)은 평면수이다. [VII권 정의 21] 그러므로 \(k\), \(l\) 사이에는 비례 중항이 한 개가 있다. [VIII권 명제 18] 그것을 \(m\)이라고 하자.
앞의 명제에 의해서 수 \(m\)은 \(m=d\cdot f\)이다. [VIII권 명제 18]
\(k=d\cdot c\), \(m=d\cdot f\)이므로 \(c:f=k:m\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(k:m=m:l\)이다. 그러므로 \(k\), \(m\), \(l\)의 연속적인 비가 같고 그 비가 \(c:f\)와 같다. 즉, \(k:m=m:l=c:f\)이다.
그런데 \(c:d=f:g\)이므로 바꾼 비례식에 의해서 \(c:f=d:f\)이다. [VII권 명제 13] 같은 논리로 \(d:g=e:h\)이다.
그러므로 \(k\), \(m\), \(l\)의 연속적인 비는 같고 그 비가 \(d:g\)와 같으며, 그 비가 \(e:h\)와 같다.
이제 두 수 \(n\), \(o\)를 \(n=e\cdot m\), \(o=h\cdot m\)이라 하자. \(a\)는 입체수이며 \(c, d, e\)가 \(a\)의 변들이므로 \(a=e\cdot \left(c\cdot d \right)\)이다. 그런데 \(k=c \cdot d\)이므로 \(a=e \cdot k\)이다. 같은 논리로 \(b=h\cdot l\)이다.
\(a=e\cdot k\)이고 \(n=e\cdot m\)이므로 \(k:m=a:n\)이다. [VII권 명제 17]
그런데 \(k:m=c:f=d:g=e:h\)이다. 그러므로 \(c:f=d:g=e:h=a:n\)이다.
\(n=e\cdot m\), \(o=h\cdot m\)이므로 \(e:h=n:o\)이다.[VII권 명제 18]
\(e:h=c:f=d:g\)이다. 그러므로 \(c:f=d:g=e:h=a:n=n:o\)이다.
\(o=h\cdot m\), \(b=h\cdot m\)이므로 \(m:l=o:b\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(m:l=c:f=d:g=e:h\)이다. 그러므로 \(c:f=d:g=e:h=o:b=a:n=n:o\)이다.
그러므로 \(a\), \(n\), \(o\), \(b\)의 연속적인 비는 대응하는 변들의 비와 같다.
그 다음으로, \(a\), \(b\)의 비가 대응하는 변의 세제곱 비임을 보여야 한다. 즉, \(a:b=c^3:f^3=d^3:g^3=e^3:h^3\)임을 보여야 한다.
네 수 \(a\), \(n\), \(o\), \(b\)의 연속적인 비가 같다. 그러므로 \(a:b=a^3:n^3\)이다. [V권 정의 10] 그런데 \(a:n=c:f=d:g=e:h\)임을 보였다.
그러므로 \(a:b=c^3:f^3=d^3:g^3=e^3:h^3\)이다.
그러므로 두 닮은 입체수 사이에는 비례 중항이 두 개가 있다. 그리고 닮은 입체수의 비는 대응하는 변들의 세제곱 비와 같다.
Q.E.D.
닮음인 입체수 \(cde\)와 \(fgh\)는 \(c:d:e=f:g:h\)를 만족한다. 또는 \(c:f=d:g=e:h\)를 만족한다.
그러므로 \(cde\), \(fde\), \(fge\), \(fgh\)는 연속적인 비가 같다. \(cde\), \(fgh\)사이의 \(fde\), \(fge\)는 각각 \(cde\), \(fgh\) 사이에 있는 비례중항이다. 역시 \(cde:fgh=c^3:f^3=d^3:g^3=e^3:h^3\)이다.
이 명제는 [VIII권 명제 25]에서 처음 사용되며 [VIII권]과 [IX권]의 약간의 명제에서 사용된다. [VIII권 명제 21]은 이 명제의 부분의 역이다.