VIII 권
명제
세제곱수가 어떤 세제곱수의 배수이면 이 입체수의 변은 어떤 입체수의 변의 배수이다. 역으로 입체수의 변이 어떤 입체수의 변을 배수이면 이들의 세제곱수는 어떤 세제곱수의 배수이다.
수 \(a\), \(b\)가 세제곱수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변을 \(d\)라 하자. \(b\)는 \(a\)의 배수라고 하자. 그러면 \(d\)가 \(c\)의 배수이다. 역으로 \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자. 그러면 \(b\)가 \(a\)의 배수이다.
수 \(a\), \(b\)가 세제곱수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(b\)의 변을 \(d\)라 하자. \(b\)는 \(a\)의 배수라고 하자.
그러면 \(d\)가 \(c\)의 배수임을 보이자.
수 \(e\)는 \(e=c\cdot c\), 수 \(g\)는 \(g=d\cdot d\)이라 하자. 또한 수 \(f\)는 \(f=c\cdot d\), 수 \(h\), \(k\)는 \(h=c \cdot f\), \(k=d \cdot f\)라 하자.
그러면 \(e\), \(f\), \(g\)와 \(a\), \(h\), \(k\), \(b\)는 모두 연속적인 비가 같으며 즉, \(e:f=f:g\), \(a:h=h:k=k:b\)이며 그 비는 비 \(c:d\)와 같다. [VIII권 명제 11, 12] \(a\), \(h\), \(k\), \(b\)가 연속적인 비가 같아 \(a:h=h:k=k:b\)이고 \(b\)는 \(a\)의 배수이므로 \(h\)는 \(a\)의 배수이기도 하다. [VIII권 명제 7] \(a:h=c:d\)이므로 \(d\)는 \(c\)의 배수이다.
역으로 \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자.
그러면 \(b\)가 \(a\)의 배수임을 보이자.
위의 마찬가지 방법으로 구하면, \(a\), \(h\), \(k\), \(b\)의 연속적인 비가 같고 그 비가 \(c:d\)와 같다.
그런데 \(d\)가 \(c\)의 배수이다. 그리고 \(c:d=a:h\)이므로 \(h\)는 \(a\)의 배수이다. [VII권 정의 20]
그러므로 세제곱수가 어떤 세제곱수의 배수이면 이 입체수의 변은 어떤 입체수의 변의 배수이다. 역으로 입체수의 변이 어떤 입체수의 변을 배수이면 이들의 세제곱수는 어떤 세제곱수의 배수이다.
Q.E.D.
\(c^3\)이 \(d^3\)을 나누는 것의 필요충분조건은 \(c\)가 \(d\)를 나누는 것이다.
이 명제는 [VIII권 명제 17]의 대우명제의 증명에 사용된다.