애플릿

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증명

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수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)에 대하여 이 수들의 연속적인 비가 같다. 즉, \(a:b=b:c=c:d=d:e\)이다. 그리고 \(b\)는 \(a\)의 배수가 아니다.

그러면 어떠한 수이 배수도 다른 수가 될 수 없음을 보여야 한다.

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\(b\)는 \(a\)의 배수가 아니고 \(a:b=b:c\)이므로 \(c\)도 \(b\)의 배수가 아니다. 같은 논리로 \(d\)는 \(c\)의 배수가 아니고, \(e\)는 \(d\)의 배수가 아니다.

이에 어떠한 수의 배수도 다른 수가 될 수 없음을 보여야 한다.

어떠한 수의 배수가 다른 수가 될 수 있다고 가정하자. \(c\)가 \(a\)의 배수라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)와 같은 개수의 \(f\), \(g\), \(h\)를 \(f:g:h=a:b:c\)인 수들 중에서 가장 작은 수라 하자. [VII권 명제 33]

\(f\), \(g\), \(h\)는 \(f:g:h=a:b:c\)이고 \(a\), \(b\), \(c\)와 개수도 같으므로 같은 위치에 있는 비도 같다. 즉, \(a:c=f:h\)이다. [VII권 명제 14]

\(a:b=f:g\)이고 \(b\)는 \(a\)의 배수가 아니므로 \(g\)는 \(f\)의 배수가 아니다. [VII권 정의 20] 그러므로 \(f\)는 단위수가 아니다. 왜냐하면 단위수는 모든 수의 배수이기 때문이다.

이제 \(f\), \(h\)는 서로소이다. [VIII권 명제 3] \(f:h=a:c\)이므로 \(c\)는 \(a\)의 배수가 아니다. 비슷한 논리로 어떠한 수의 배수도 다른 수가 될 수 없음을 보일 수 있다.

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그러므로 몇 개의 수가 연속적인 비가 모두 같다고 하자. 그리고 두 번째 수가 첫 번째 수의 배수가 아니라고 하자. 그러면 어떠한 수의 배수도 다른 수가 될 수 없다.

Q.E.D.

부연설명

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수 \(24\), \(12\), \(6\), \(3\)의 비 \(24:12:6:3\)의 연속적인 비는 \(2:1\)로 같다. 이 명제에 의해서 \(12\)는 \(24\)의 배수가 아니지만 \(6\)은 \(3\)의 배수이다. 이 명제는 약 간의 수를 묶는 방법에 대한 수정이 필요하다.

첫 번째 수가 두 번째 수를 나누지 않는 연속 비의 수열을 고려하자. 그 수열의 모든 수는 수열의 다음 항은 첫 번째 수와 두 번째 수의 ​​비율이 같아야 하므로 어떤 항의 수도 그 다음 항의 수를 나누지 않는다.

수열의 어떤 항의 수가 그 항보다 큰 항의 수를 나눈다고 하자. 작은 항의 수는 다음 항의 수를 나누기 때문에 그것을 나눌 수 있고 그것을 나누는 수는 \(c\)를 나눈다. 연속 비를 갖는 수 \(a\), \(b\), \(c\)를 구하고 [VII권 명제 33]을 사용하여 연속 비 \(f\), \(g\), \(h\)를 가장 작은 수로 줄인다. 가장 작은 수이기 때문에 \(f\)와 \(h\)는 서로소이다. \(a:b=f:g\)이고 \(a\)는 \(b\)를 나누지 않으므로 \(f\)도 \(g\)를 나누지 않는다. \(f\)는 \(g\)를 나누지 않기 때문에 특히 \(f\ne1\)이지만 \(f\)와 \(h\)는 [VIII권 명제 3]에 의해 서로소이므로 \(f\)는 \(h\)를 나누지 않는다. 마지막으로\(a:c=f:h\)이므로 \(c\)도 나누지 않는다.

이 명제는 다음 명제의 따름 명제에서 사용된다.