VIII 권
명제
명제 3
연속적인 비가 같은 몇 개의 수들이 있다. 그리고 어떤 수들이 이들의 연속적인 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 이 수들의 양끝의 수는 서로소이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)를 만족한다. 어떤 수들이 이 연속적이 비와 같은 수들 중 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 양 끝의 수 \(a\), \(d\)는 서로소이다.
VIII 권
명제
연속적인 비가 같은 몇 개의 수들이 있다. 그리고 어떤 수들이 이들의 연속적인 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 이 수들의 양끝의 수는 서로소이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)를 만족한다. 어떤 수들이 이 연속적이 비와 같은 수들 중 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 양 끝의 수 \(a\), \(d\)는 서로소이다.
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)를 만족한다. 어떤 수들이 이 연속적이 비와 같은 수들 중 가장 작은 수들이라고 하자.
그러면 양 끝의 수 \(a\), \(d\)는 서로소임을 보여야 한다.
두 수 \(e\), \(f\)를 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 비율을 가지며 가장 작은 수라고 하자. [VII권 명제 22] 그러므로 \(e:f=a:b\)이다. 또한 세 수 \(g\), \(h\), \(k\)는 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 비율을 가지며 가장 작은 수라고 하자. [VIII권 명제 2] 그러므로 \(g:h=h:k=a:b\)이다. 이러한 방법으로 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)와 개수가 같은 \(l\), \(m\), \(n\), \(o\)를 잡자.
\(e\), \(f\)는 비가 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이므로 \(e\), \(f\)는 서로소이다. [VII권 명제 22] \(g=e^2\), \(k=f^2\)이고, \(l=eg\), \(o=fk\)이다. [VIII권 명제 2 따름 명제] 그러므로 \(g\), \(k\)는 서로소이고, \(l\), \(o\)도 서로소이다. [VII권 명제 27]
네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 연속적인 비 \(a:b=b:c=c:d\)와 같은 비를 갖는 네 수들 중 가장 작은 수들이고, \(l\), \(m\), \(n\), \(o\)는 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비와 같은 네 수들 중에서 가장 작다. 그리고 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 개수와 \(l\), \(m\), \(n\), \(o\)의 개수가 네 개로 같다. 그러므로 \(a=l\), \(b=m\), \(c=n\), \(d=o\)이다. 그러므로 \(a=l\), \(d=o\)이다.
그런데 \(l\), \(o\)는 서로소이므로, \(a\), \(d\)도 서로소이다.
그러므로 연속적인 비가 같은 몇 개의 수들이 있다. 그리고 어떤 수들이 이들의 연속적인 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 이 수들의 양끝의 수는 서로소이다.
Q.E.D.
이 명제는 [VIII권 명제 1]의 역이다. 즉 어떤 수들이 이들의 연속적 비에서 가장 작은 비를 갖는 수들을 포함하고 있으면 양 끝의 두 수는 서로소이다.
이 명제는 [VIII권 명제 6], [VIII권 명제 8], [VIII권 명제 21]에서 사용된다.