VIII 권
명제
두 닮은 평면수 사이에 비례 중항이 되는 한 개의 수가 존재한다. 그리고 두 닮은 평면수의 비는 대응하는 변들의 비의 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(d\)라 하고 \(b\)의 변을 \(e\), \(f\)라 하자. 두 평면수 \(a\), \(b\)가 닮음이므로 \(c:d=e:f\)이다. [VIII권 정의 21] 그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항인 수 한 개가 있으며, 비 \(a:b\)는 평면수의 대응하는 변의 비의 제곱과 같다. 즉, \(a:b=c^2:e^2=d^2:f^2\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라고 하자. \(a\)의 변을 \(c\), \(d\)라 하고 \(b\)의 변을 \(e\), \(f\)라 하자. 두 평면수 \(a\), \(b\)가 닮음이므로 \(c:d=e:f\)이다. [VIII권 정의 21]
그러면 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항인 수 한 개가 있으며, 비 \(a:b\)는 평면수의 대응하는 변의 비의 제곱과 같다. 즉, \(a:b=c^2:e^2=d^2:f^2\)임을 보여야 한다.
\(c:d=e:f\)이므로 바꾼 비례식에 의해서 \(c:e=d:f\)이다. [VII권 명제 13]
\(a\)의 변이 \(c\), \(d\)이므로 \(a=d\cdot c\)이다. 같은 이유로 \(b=e\cdot f\)이다.
수 \(g\)는 \(g=d\cdot e\)라 하자. 그러면 \(a=d\cdot c\)이고 \(g=d\cdot e\)이므로 \(c:e=a:g\)이다. [VII권 명제 17]
그런데 \(c:e=d:f\)이다. 그러므로 \(d:f=a:g\)이다.
다시 \(g=e \cdot d\), \(b=e\cdot f\)이므로 \(d:f=g:b\)이다. [VII권 명제 17]
그런데 \(d:f=a:g\)임을 보였다. 그러므로 \(a:g=g:b\)이다. 그러므로 \(a\), \(g\), \(b\)의 연속적인 비가 같다.
그러므로 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항인 한 개의 수 존재한다.
다음으로 비 \(a:b\)는 평면수의 대응하는 변의 비의 제곱과 같음을 보이자. 즉, \(a:b=c^2:e^2=d^2:f^2\)임을 보이자.
\(a\), \(g\), \(b\)의 연속적인 비가 같으므로 \(a:b=a^2:g^2\)이다. [V권 정의 9] 그리고 \(a:g=c:e\)이고 \(a:g=d:f\)이다. 그러므로 \(a:b=c^2:e^2=d^2:f^2\)이다.
그러므로 두 닮은 평면수 사이에 비례 중항이 되는 한 개의 수가 존재한다. 그리고 두 닮은 평면수의 비는 대응하는 변들의 비의 제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제는 [VIII권 명제 11]의 제곱수에 적용된 것을 직사각형의 평면수로 일반화한 것이다.
대수적으로 증명을 살펴보자.
\(c:d=e:f\)이므로 \(c:e=d:f\)이다. 또한 \(c:e=cd:de\)이고, \(d:f=de:ef\)이다. \(c:e=d:f\)이므로 \(cd:de=de:ef\)이다.
이 명제는 다음 명제로 시작하는 이 책의 나머지 명제들 중 몇 개에서 사용된다. 또한 [IX권] 처음 두 명제에서도 사용된다. [VIII권 명제 20]은 이 명제의 부분의 역이다.