VIII 권
명제
명제 11
두 제곱수 사이에는 하나의 수를 넣어 비례 중항을 만들 수 있다. 그리고 제곱수와 제곱수의 비율은 평면수의 변의 비율의 제곱이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)는 각각 \(a\), \(b\)의 변이다. 그러면 \(a< e< b\)이고 \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같은 수 \(e\)가 존재한다. 그리고 \(a:b=c^2:d^2\)이다.
VIII 권
명제
두 제곱수 사이에는 하나의 수를 넣어 비례 중항을 만들 수 있다. 그리고 제곱수와 제곱수의 비율은 평면수의 변의 비율의 제곱이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)는 각각 \(a\), \(b\)의 변이다. 그러면 \(a< e< b\)이고 \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같은 수 \(e\)가 존재한다. 그리고 \(a:b=c^2:d^2\)이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\), \(d\)는 각각 \(a\), \(b\)의 변이다.
그러면 \(a< e< b\)이고 \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같은 수 \(e\)가 존재하고 \(a:b=c^2:d^2\)임을 보여야 한다.
수 \(e\)는 \(e=c\cdot d\)이라 하자.
\(a\)는 제곱수이고 \(c\)는 \(a\)의 변이므로 \(c^2=a\)이다. 같은 논리로 \(d^2=b\)이다.
\(a=c\cdot c\), \(e=c\cdot d\)이므로 \(c:d=a:e\)이다. [VII권 명제 17]
같은 논리로 \(c:d=e:b\)이다. [VII권 명제 18] 그러므로 \(a:e=e:b\)이다. 그러므로 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 성립하는 수는 \(e\) 하나뿐이다.
다음으로 \(a:b=c^2:d^2\)임을 보이자.
\(a\), \(e\), \(b\)가 비례하므로 \(a:b=a^2:e^2\)이다. [V권 정의 9]
그런데 \(a:e=c:d\)이다. 그러므로 \(a:b=c^2:d^2\)이다.
그러므로 두 제곱수 사이에는 하나의 수를 넣어 비례 중항을 만들 수 있다. 그리고 제곱수와 제곱수의 비율은 평면수의 변의 비율의 제곱이다.
Q.E.D.
대수적으로 표현하여 설명하면 다음과 같다.
\(c^2\), \(d^2\)의 비례 중항은 \(cd\)이고, 비 \(c^2:d^2\)은 비 \(c:d\)의 제곱비이다. 비 \(c^2:d^2\)은 비 \(c^2:cd\)와 비 \(cd:d^2\)의 합성한 비이다. 두 비 \(c^2:cd\)와 \(cd:d^2\)는 \(c:d\)이다.
이 명제는 [VIII권 명제 14], [VIII권 명제 15], [X권 명제 9]에서 사용된다.