VIII 권
명제
어떤 비에 대하여, 이 비와 같은 수들을 만들자. 그러면 어떤 비와 같으며 그 수의 크기가 가장 작은 수들을 잡을 수 있다.
수 \(a\), \(b\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 연속적 비 \(c:d=d:e\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 적은 개수의 수 \(c\), \(d\), \(e\)와 비 \(f:g=g:h=h:k\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 적은 개수의 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)를 잡을 수 있다.
수 \(a\), \(b\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 작은 수라고 하자.
그러면 연속적 비 \(c:d=d:e\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 적은 개수의 수 \(c\), \(d\), \(e\)와 비 \(f:g=g:h=h:k\)가 주어진 비 \(a:b\)와 같은 가장 적은 개수의 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)를 잡을 수 있음을 보여야 한다.
네 개의 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)를 다음과 같이 정의 하자.
\(c=a^2\), \(d=ab\), \(e=b^2\)이라 하자. 그리고 \(f=ac\), \(g=ad\), \(h=ae\)이라 하자. 또한 \(k=be\)라 하자.
\(c=a^2\), \(d=ab\)이므로 \(a:b=c:d\)이다. [VII권 명제 17]
\(d=ab\), \(e=b^2\)이므로 \(a:b=d:e\)이다. [VII권 명제 18] 그런데 \(a:b=c:d\)이므로 \(c:d=d:e\)이다.
그리고 \(f=ac\), \(g=ad\)이므로 \(c:d=f:g\)이다. [VII권 명제 17]
그런데 \(c:d=a:b\)이므로 \(a:b=f:g\)이다.
\(g=ad\), \(h=ae\)이므로 \(d:e=g:h\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(d:e=a:b\)이므로 \(a:b=g:h\)이다.
\(h=ae\), \(k=be\)이므로 \(a:b=h:k\)이다. [VII권 명제 18] \(a:b=f:g=g:h\)이다. 그러므로 \(f:g=g:h=h:k\)이다.
그러므로 수 \(c\), \(d\), \(e\)와 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)를 연속적인 비를 구하면 \(a:b\)와 같다. 즉, \(a:b=c:d=d:e\) 그리고 \(a:b=f:g=g:h=h:k\)이다.
다음으로 수 \(c\), \(d\), \(e\)와 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)가 가장 작은 수들임을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)는 비 \(a:b\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수라고 가정하였다. 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 서로소이다. [VII권 명제 22] 그러므로 \(a\), \(b\)는 서로소이다.
그리고 \(c=a^2\), \(e=b^2\)이므로 \(f=ac\), \(k=be\)이므로 \(c\), \(e\)도 서로소이고 \(f\), \(k\)도 서로소이다. [VII권 명제 27]
차례로 구한 비율이 같은 수들이 몇 개가 있다고 하자. 그리고 양 끝의 수가 서로소라고 하자. 그러면 이 수들이 이 수들과 비율과 같은 수들 중 가장 작은 수들이다. [VIII권 명제 1] 그러므로 수 \(c\), \(d\), \(e\)와 수 \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)는 비 \(a:b\)와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이다
그러므로 어떤 비에 대하여, 이 비와 같은 수들을 만들자. 그러면 어떤 비와 같으며 그 수의 크기가 가장 작은 수들을 잡을 수 있다.
Q.E.D.
세 수의 연속적인 비가 같은 수들 중에서 가장 작다고 하자. 그러면 양 끝의 수들은 제곱수이다.
네 수의 연속적인 비가 같은 수들 중에서 가장 작다고 하자. 그러면 양끝의 수들은 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 비 \(a:b\)와 같은 비를 가진 세 수는 \(a^2\), \(ab\), \(b^2\)이다. 이들 세 수의 연속적인 비는 \(a^2:ab=ab:b^2\left(=a:b\right)\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 비 \(a:b\)와 같은 비를 가진 네 수는 \(a^3\), \(a^2b\), \(ab^2\), \(b^3\)이다. 이들 네 수의 연속적인 비는 \(a^3:a^2b=a^2b:ab^2=ab^2:b^3\left(=a:b\right)\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)는 비 \(a:b\)와 같은 \(n\)개의 연속된 비와 같은 가장 작은 수라고 하자. 그러면 연속된 비가 비 \(a:b\)와 같은 \(n\)개의 수는 아래와 같다.
\(a^{n-1}\), \(a^{n-2}b\), \(a^{n-3}b^2\), \(\cdots\), \(ab^{n-2}\), \(b^{n-1}\)
예를 들어 가장 작은 수의 비 \(2:3\)과 같은 연속적인 비를 갖는 \(5\)개의 수는 \(2^4\), \(2^3\cdot3\), \(2^2\cdot3^2\), \(2\cdot3^3\), \(3^4\)이다. 즉, \(16\), \(24\), \(36\), \(54\), \(81\)이다. 이들 수들의 연속적인 비는 \(16:24=24:36=36:54=54:81\left(=2:3\right)\)이다.
이 명제와 따름 명제는 다음 명제를 시작으로 [VIII권] 여러 곳과 [IX권 명제 15]에서 사용된다.