VIII 권
명제
어떤 제곱수가 다른 어떤 제곱수를 나누지 못하면, 어떤 변은 다른 어떤 변을 나누지 못한다. 역으로 어떤 변이 다른 어떤 변을 나누지 못하면 어떤 제곱수는 다른 어떤 제곱수를 나누지 못한다.
수 \(a\), \(b\)가 제곱수라 하고 이들의 변을 각각 \(c\), \(d\)라 하자. \(a\)가 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못한다. 역으로 \(c\)가 \(d\)를 나누지 못하면 역시 \(a\)도 \(b\)를 나누지 못한다.
수 \(a\), \(b\)가 제곱수라 하고 이들의 변을 각각 \(c\), \(d\)라 하자.
그러면 \(a\)가 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못함을 보여야 한다.
만약 \(c\)가 \(d\)를 나누면, 그러면 \(a\)가 \(b\)를 나눈다. [VIII권 명제 14] 그런데 \(a\)는 \(b\)를 나누지 못하면 \(c\)도 \(d\)를 나누지 못한다.(대우 명제)
역으로 \(c\)가 \(d\)를 나누지 못하면 역시 \(a\)도 \(b\)를 나누지 못함을 보여야 한다.
만약 \(a\)가 \(b\)를 나누면 \(c\)는 \(d\)를 나눈다. [VIII권 명제 14] 그런데 \(c\)는 \(d\)를 나누지 못한다고 하였다. 그러므로 \(a\)도 \(b\)를 나누지 못한다.
그러므로 어떤 제곱수가 다른 어떤 제곱수를 나누지 못하면, 어떤 변은 다른 어떤 변을 나누지 못한다. 역으로 어떤 변이 다른 어떤 변을 나누지 못하면 어떤 제곱수는 다른 어떤 제곱수를 나누지 못한다.
Q.E.D.
이 명제는 [VIII권 명제 14]의 대우명제이다.