Proposition 21 of Book VIII

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그러면

두 수 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항 \(c\), \(d\)가 있다고 하자.

그러면 \(a\), \(b\)는 닮은 입체수임을 보여야 한다.

\(a, c, d\)의 비 \(a:c:d\)와 같으면서 즉, \(e:f:g=a:c:d\)이면서 가장 작은 수를 \(e\), \(f\), \(g\)라 하자. [VII권 명제 33 또는 VIII권 명제 2] 그러면 \(e\), \(g\)는 서로소이다. [VIII권 명제 3]

수 \(f\)는 \(e< f< g\)인 비례 중항이므로 \(e\), \(g\)는 닮은 평면수이다. [VIII권 명제 20]

\(e\)의 변을 \(h\), \(k\)라 하고 \(g\)의 변을 \(l\), \(m\)이라 하자. 즉, \(e=h\cdot k\), \(g=l \cdot m\)이라 하자.

그러면 앞의 명제에 의해서 \(e\), \(f\), \(g\)의 연속적이 비가 같고 그 비가 \(h:l\) 또는 k:m과 같다. 즉, \(e:f=f:g=h:l=k:m\)이다.

\(e\), \(f\), \(g\)는 \(a\), \(c\), \(d\)의 비와 같으면서 즉 \(e:f:g=a:c:d\)이면서 가장 작은 수이다. 그리고 \(e\), \(f\), \(g\)와 \(a\), \(c\), \(d\)의 개수가 같다. 그러므로 \(e\), \(g\)와 같은 위치에 있는 \(a\), \(d\)와 \(e:g=a:d\)이다. [VII권 명제 14]

그런데 \(e\), \(g\)는 서로소이다. 서로소인 수들은 같은 비를 같는 수들 중에서 가장 작다, [VII권 명제 21], 가장 작은 수들의 비는 다른 수의 비를 같은 개수로 나눌 수 있다. 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 나눈다. [VII권 명제 20] 그러므로 \(a=p\cdot e\)인 어떤 수 \(p\)에 대하여 \(d=p\cdot g\)이다.

단위수를 \(u\)라 하자. \(a=p\cdot e\)인 어떤 수 \(p\)에 대하여 수 \(n\)을 \(n=p\cdot u\)라 하자. 그러면 \(a=n\cdot e\)이다. 그런데 \(e=h\cdot k\)이다. 그러므로 \(a=n\cdot \left(h\cdot k\right)\)이다.

그러므로 \(a\)는 입체수이며 \(h\), \(k\), \(n\)는 \(a\)의 변이다.

\(e\), \(f\), \(g\)는 \(e:f:g=c:d:b\)이고 가장 작은 수이다. 그러므로 \(c=q\cdot e\)인 어떤 수 \(q\)에 대하여 \(b=q\cdot g\)이다.

\(c=q\cdot e\)인 어떤 수 \(q\)에 대하여 수 \(o\)를 \(o=q\cdot u\)라 하자. 그러면 \(b=q\cdot g\)이다.

그러므로 \(b=o\cdot g\)이다. 그런데 \(g=l\cdot m\)이다. 그러므로 \(b=o\cdot \left(l\cdot m \right)\)이다. 그러므로 \(b\)는 입체수이며 \(l\), \(m\), \(o\)는 \(b\)의 변이다.

다음으로 입체수 \(a\), \(b\)가 닮음임을 보여야 한다.

\(a=n\cdot e\), \(c=o\cdot e\)이므로 \(n:o=a:c\)이다. 또한 \(n:o=e:f\)이다. [VII권 명제 18]

그런데 \(e:f=h:l=k:m\)이다. 그러므로 \(h:l=k:m=n:o\)이다.

그런데 \(h\), \(k\), \(n\)은 \(a\)의 변이고 \(o\), \(l\), \(m\)은 \(b\)의 변이다. 그러므로 입체수 \(a\), \(b\)는 닮음이다.

그러므로 두 수 사이에 비례 중항이 두 개 있으면, 두 수는 닮은 입체수이다.

Q.E.D.

명제 21

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