VIII 권
명제
연속적인 비가 같은 수들이 있다. 이들 수들을 제곱해서 제곱수를 만들자. 그러면 이들 수들도 연속적인 비가 같다. 또한 이들 수들의 제곱수를 만들자. 그러면 이들 수들의 연속적인 비도 같다.
몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다. 즉, \(a:b=b:c\)이다. 그러면 수 \(d\), \(e\), \(f\)를 \(d=a^2\), \(e=b^2\), \(f=c^2\)이라 하자. 그러면 \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비도 같다. 즉, \(d:e=e:f\)이다. 또한 수 \(g\), \(h\), \(k\)를 \(g=d^2\), \(h=e^2\), \(k=f^2\)이라 하자. 그러면 \(g\), \(h\), \(k\)의 연속적인 비도 같다. 즉, \(g:h=h:k\)이다.
몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다. 즉, \(a:b=b:c\)이다. 그러면 수 \(d\), \(e\), \(f\)를 \(d=a^2\), \(e=b^2\), \(f=c^2\)이라 하자.
그러면 \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비도 같음을 보여야 한다. 즉, \(d:e=e:f\)임을 보여야 한다.
또한 수 \(g\), \(h\), \(k\)를 \(g=d^2\), \(h=e^2\), \(k=f^2\)이라 하자.
그러면 \(g\), \(h\), \(k\)의 연속적인 비도 같음을 보여야 한다. 즉, \(g:h=h:k\)임을 보여야 한다.
수 \(l\)을 \(l=a\cdot b\)라 하자. 수 \(m\), \(n\)을 \(m=a\cdot l\), \(n=b \cdot l\)이다. 수 \(o\)를 \(o=b\cdot c\)하자. 두 수 \(p\), \(q\)를 \(p=b\cdot o\), \(q=c \cdot o\)라 하자.
그러면 앞에서 증명한 비슷한 방법으로 \(d\), \(l\), \(e\)와 \(g\), \(m\), \(n\), \(h\)의 연속적인 비가 모두 비 \(a:b\)와 같다는 것을 보일 수 있다. 즉, \(d:l=l:e=a:b\), \(g:m=m:n=n:h=a:b\)임을 보일 수 있다.
그리고 \(e\), \(o\), \(f\)와 \(h\), \(p\), \(q\), \(k\)의 연속적인 비를 구하면 모두 비 \(b:c\)와 같다는 것을 보일 수 있다. 즉, \(e:o=o:f=a:b\), \(h:p=p:q=q:k=b:c\)임을 보일 수 있다.
그런데 \(a:b=b:c\)이다. 그러므로 \(d:l:e=e:o:f\)이다. 또한 \(g:m:n:h=h:p:q:k\)이다. 그리고 \(d\), \(l\), \(e\)개수와 \(e\), \(o\), \(f\)의 개수가 같으며 \(g\), \(m\), \(n\), \(h\) 개수와 \(h\), \(p\), \(q\), \(k\)의 개수가 같다. 그러므로 비 \(d:e\)는 같은 위치에 있는 비 \(e:f\)와 \(d:e=e:f\), 비 \(g:h\)와 같은 위치에 있는 비 \(h:k\)는 \(g:h=h:k\)이다. [VII권 명제 14]
그러므로 연속적인 비가 같은 수들이 있다. 이들 수들을 제곱해서 제곱수를 만들자. 그러면 이들 수들도 연속적인 비가 같다. 또한 이들 수들의 제곱수를 만들자. 그러면 이들 수들의 연속적인 비도 같다.
Q.E.D.
이 명제는 연속적인 비가 같은 항에 제곱 또는 세제곱하여 만든 제곱비와 세제곱비도 역시 역속적인 비가 같다.
대수적인 표현으로 나타내어 보자.
수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a< b< c\)이며 연속적인 비가 같다고 하자. 즉, \(a:b=b:c\)라 하자.
그러면 다음과 같이 연속적인 비가 같은 제곱수와 세제곱수를 만들 수 있다.
\(a^2\), \(ab\), \(b^2\), \(bc\), \(c^2\)
\(a^3\), \(a^2b\), \(ab^2\), \(b^3\), \(b^2c\), \(bc^2\), \(c^3\)