VIII 권
명제
명제 25
두 수의 비가 세제곱의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 세제곱 수이라 하자. 그러면 두 번째 수도 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 세제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이다. 그리고 \(a\)가 세제곱수이다. 그러면 \(b\)도 세제곱수이다.
VIII 권
명제
두 수의 비가 세제곱의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 세제곱 수이라 하자. 그러면 두 번째 수도 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 세제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이다. 그리고 \(a\)가 세제곱수이다. 그러면 \(b\)도 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 세제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이다. 그리고 \(a\)가 세제곱수이다.
그러면 \(b\)도 세제곱수임을 보여야 한다.
\(c\), \(d\)가 세제곱수이므로 \(c\), \(d\)는 닮은 입체수이다. 그러므로 \(c\), \(d\) 사이에 비례 중항이 두 개가 있다. [VIII권 명제 19]
서로 다른 두 수 \(c\), \(d\) 사이에 연속적인 비가 일정하도록 여려 개의 수를 넣었다고 하자. 또 다른 두 수 \(c\), \(d\)가 서로 다른 두 수의 비와 같으면 그 다른 두 수 \(c\), \(d\) 사이에도 이전과 같은 개수로 연속적인 비가 같도록 수를 넣을 수 있다. [VIII권 명제 8]
그러므로 \(a\), \(b\) 사이에 두 개의 비례 중항이 있다. 그것을 \(e\), \(f\)라 하자. 그러면 네 수 \(a\), \(e\), \(f\), \(b\)의 연속적인 비는 같다. 즉, \(a:e=e:f=f:b\)이다. 그런데 \(a\)가 세제곱수이다. 그러므로 \(b\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23]
그러므로 두 수의 비가 세제곱의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 세제곱 수이라 하자. 그러면 두 번째 수도 세제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제는 [IX권 명제 10]에서 사용된다.