VIII 권
명제
두 수와 단위수 사이에 각각 어떤 수들을 넣어서 연속적인 비가 같도록 만들자. 그러면 어떤 수들이 몇 개든지 두 수 사이에 이전의 같은 개수 만큼 넣어서 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)와 단위수 \(c\)에 대하여, 수 \(d\), \(e\)와 \(f\), \(g\)는 \(c< d< e< a\), \(c< f< g< b\)이며 연속적인 비 \(c:d=d:e=e:a\)와 연속적인 비 \(c:f=f:g=g:b\)가 같다고 하자. 그러면 \(a< k< l< b\)이고 연속적인 비 \(a:k=k:l=l:b\)가 이전 연속적인 비와 같은 어떤 수 \(k\), \(l\)이 존재한다.
두 수 \(a\), \(b\)와 단위수 \(c\)에 대하여, 수 \(d\), \(e\)와 \(f\), \(g\)는 \(c< d< e< a\), \(c< f< g< b\)이며 연속적인 비 \(c:d=d:e=e:a\)와 연속적인 비 \(c:f=f:g=g:b\)가 같다고 하자..
그러면 \(a< k< l< b\)이고 연속적인 비 \(a:k=k:l=l:b\)가 이전 연속적인 비와 같은 어떤 수 \(k\), \(l\)이 존재함을 보여야 한다.
수 \(h\)를 \(h=d\cdot f\)라 하자.
두 수 \(k\), \(l\)을 \(k=d\cdot h\), \(l=f\cdot h\)라 하자. \(c:d=d:e\)이므로 \(c:d=d:e\)이다. [VII권 정의 20] 그런데 \(d=d\cdot c\)이다. 그러므로 \(e=d\cdot d\)이다. 그러므로 \(e=d^2\)이다.
\(c:d=e:a\)이다. 그러므로 \(d=d\cdot c\)와 같이 \(a=d\cdot e\)이다. 그러므로 \(a=de\)이다.
같은 논리로, \(g=f^2\)이고 \(b=f\cdot g\)이다.
\(e=d^2\), \(h=d\cdot f\)이므로 \(d:f=e:h\)이다. [VII권 명제 17]
같은 논리로 \(d:f=h:g\)이다. [VII권 명제 18] 그리고 \(e:h=h:g\)이다.
\(k=d\cdot h\), \(l=f\cdot h\)이므로 \(d:f=k:l\)이다. [VII권 명제 18] 그런데 \(d:f=a:k\)이다. 그러므로 \(a:k=k:l\)이다. \(l=f\cdot h\), \(b=f\cdot g\)이므로 \(h:g=l:b\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(h:g=d:f\)이다. 그러므로 \(d:f=l:b\)이다.
그런데 \(d:f=a:k\), \(d:f=k:l\)임을 보였다. 그러므로 \(a:k=k:l=l:b\)이다. 그러므로 \(a\), \(k\), \(l\), \(b\)의 연속적인 비는 같다. 그러므로 \(a\), \(b\) 사이에 단위수 \(c\) 사이에 들어가는 수들이 같은 개수 만큼 두 수 \(a\), \(b\) 사이에 어떤 수들 \(k\), \(l\)을 넣어서 연속적인 비가 같도록 만들었다.
그러므로 두 수와 단위수 사이에 각각 어떤 수들을 넣어서 연속적인 비가 같도록 만들자. 그러면 어떤 수들이 몇 개든지 두 수 사이에 이전의 같은 개 수 만큼 넣어서 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 \(a\), \(b\) 사이에 \(d\), \(f\)의 \((n-1)\) 거듭제곱이면, 아래와 같이 \(a\), \(b\) 사이에 \((n-1)\)개의 수를 넣어 연속적인 비가 같게 만들 수 있다.
\(d^{n-1},\, d^{n-2}f,\, d^{n-3}f^2,\, \cdots,\, df^{n-2},\, f^{n-1}\)
이것은 이전 명제와의 부분적인 역이며, 수를 만드는 \(d\)와 \(f\)가 서로소일 필요는 없다.다음 두 명제는 제곱수과 세제곱수일 때 이 명제의 특별한 경우이다.