애플릿

---

---

증명

---

두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라 하자.

그러면 \(a\), \(b\)의 비가 어떤 제곱수의 비와 같음을 보여야 한다.

---

\(a\), \(b\)가 닮은 평면수이므로 \(a\), \(b\) 사이에는 비례 중항이 단 한 개가 있다. [VIII권 명제 18] 그 비례 중항을 \(c\)라 하자.

\(a\), \(c\), \(b\)의 비와 같으면서 즉, \(d:e:f=a:c:b\)이면서 가장 작은 수를 \(d\), \(e\), \(f\)라 하자. [VII권 명제 33, VIII권 명제 2]

그러면 \(d\), \(f\)는 제곱수이다. [VIII권 명제 2 따름 명제]

그런데 \(d:f=a:b\)이고 \(d\), \(f\)는 제곱수이다. 그러므로 \(a\), \(b\)의 비 \(a:b\)는 제곱수 비 \(d:f\)와 같다.

---

그러므로 닮은 평면수의 비는 제곱수의 비와 같다.

Q.E.D.

부연설명

---

이 명제는 [IX권 명제 10], [X권 명제 9]에서 사용된다.