VIII 권
명제
명제 24
두 수의 비가 제곱수의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라 하자. 그러면 두 번째 수도 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 두 제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이라 하자. 그리고 \(a\)가 제곱수라고 하자. 그러면 \(b\)도 제곱수이다.
VIII 권
명제
두 수의 비가 제곱수의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라 하자. 그러면 두 번째 수도 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 두 제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이라 하자. 그리고 \(a\)가 제곱수라고 하자. 그러면 \(b\)도 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)와 제곱수 \(c\), \(d\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이다. 그리고 \(a\)가 제곱수이라 하자.
그러면 \(b\)도 제곱수임을 보여야 한다.
\(c\), \(d\)가 제곱수이므로 \(c\), \(d\)는 평면수이다. \(c\), \(d\) 사이에 비례 중항이 단 한 개가 있다. [VIII권 명제 18]
그런데 \(c:d=a:b\)이다. 그러므로 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 단 한 개가 있다. [VIII권 명제 8] 그런데 \(a\)가 제곱수이다. 그러므로 \(b\)도 제곱수이다. [VIII권 명제 22]
그러므로 두 수의 비가 제곱수의 비와 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라 하자. 그러면 두 번째 수도 제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제의 증명은 매우 간단하다.