VIII 권
명제
명제 22
세 수의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라고 하자. 그러면 세 번째 수도 제곱수이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다고 하자. \(a\)가 제곱수이면 \(c\)도 제곱수이다.
VIII 권
명제
세 수의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라고 하자. 그러면 세 번째 수도 제곱수이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다고 하자. \(a\)가 제곱수이면 \(c\)도 제곱수이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같다고 하자. \(a\)가 제곱수이라 하자.
그러면 \(c\)도 제곱수임을 보여야 한다.
\(a < b < c\)인 비례 중항 \(b\)가 있다. 그러므로 \(a\), \(c\)는 닮은 평면수이다. [VIII권 명제 20] 그러므로 \(c\)도 제곱수이다.
그러므로 세 수의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라고 하자. 그러면 세 번째 수도 제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제는 [VIII권 명제 24]를 시작으로 [IX권]에서 조금 사용된다