애플릿

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증명

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두 평면수 $a$, $b$가 있다고 하자. 두 수 $c$, $d$를 평면수 $a$의 변이라 하고, 두 수 $e$, $f$를 평면수 $b$의 변이라고 하자.

그러면 $a:b=cd:ef$임을 보여야 한다.

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수 $g$, $h$, $k$는 주어진 비 $c:e$, 비 $d:f$는 세 수 $g$, $h$, $k$의 연속적인 비아 같고 비 $g:h:k$와 같은 수 들 중에서 가장 작은 수라 하자. [VIII권 명제 4] 즉, $c:e=g:h$, $d:f=h:k$를 만족한다.

$l=de$인 $l$을 잡자. (여기서 $g:k=cd:ef$ 임을 알 수 있다.)

$a=dc$, $l=de$이므로 $c:e=a:l$이다. [VII권 명제 17] 그런데 $c:e=g:h$이다. 그러므로 $g:h=a:l$이다.

$l=ed$, $b=ef$이므로 $d:f=l:b$이다. [VII권 명제 17] 그런데 $d:f=h:k$이다. 그러므로 $h:k=l:b$이다.

그런데 $g:h=a:l$임을 보였다. 그러므로 $g:k=a:b$이다. [VII권 명제 14]

그런데 $g:k=cd:ef$이다. 그러므로 $a:b=cd:ef$이다.

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그러므로 평면수 비는 그들이 변의 비를 곱한 것과 같다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 두 비 $c:e$, $d:f$의 합성 비를 구하는 것이다.

$c:e=cd:de$이고 $d:f=de:ef$이므로 평면수 비는 $cd:ef$이다.

이 명제의 증명은 [VIII권 명제 4]를 사용하여 비 c:d와 비e:f에서 연속적인 비의 가장 작은 수를 찾는 것으로 증명이 더 복잡해졌다.

이 명제는 다음과 같은 대수적인 방법으로 보여보자.

평면수 $a$는 두 변 $c$, $d$의 곱으로 즉, $a=cd$, 평면수 $b$는 두 변의 $e$, $f$의 곱으로 즉, $b=ef$라 하자. [VIII권 명제 4]에 의해서 비 $g:h:k$는 $g:h=c:e$, $h:k=d:f$를 만족하는 $g:k$가 $c:e$, $d:f$를 합성한 것이다.

$a=cd$이므로 $c:e=a:de$이고 $g:h=a:de$이다. $b=ef$이므로 $d:f=de:b$이고 $h:k=de:b$이다. $g:h=a:de$, $h:k=de:b$이므로 $g:k=a:b$이다. 그러므로 평면수의 비는 각 두 변을 곱한 비와 같다.