VIII 권
명제
명제 5
평면수 비는 그들이 변의 비를 곱한 것과 같다.
두 평면수 \(a\), \(b\)가 있다고 하자. 두 수 \(c\), \(d\)를 평면수 \(a\)의 변이라 하고, 두 수 \(e\), \(f\)를 평면수 \(b\)의 변이라고 하자. 그러면 \(a:b=cd:ef\)이다.
VIII 권
명제
평면수 비는 그들이 변의 비를 곱한 것과 같다.
두 평면수 \(a\), \(b\)가 있다고 하자. 두 수 \(c\), \(d\)를 평면수 \(a\)의 변이라 하고, 두 수 \(e\), \(f\)를 평면수 \(b\)의 변이라고 하자. 그러면 \(a:b=cd:ef\)이다.
두 평면수 \(a\), \(b\)가 있다고 하자. 두 수 \(c\), \(d\)를 평면수 \(a\)의 변이라 하고, 두 수 \(e\), \(f\)를 평면수 \(b\)의 변이라고 하자.
그러면 \(a:b=cd:ef\)임을 보여야 한다.
수 \(g\), \(h\), \(k\)는 주어진 비 \(c:e\), 비 \(d:f\)는 세 수 \(g\), \(h\), \(k\)의 연속적인 비아 같고 비 \(g:h:k\)와 같은 수 들 중에서 가장 작은 수라 하자. [VIII권 명제 4] 즉, \(c:e=g:h\), \(d:f=h:k\)를 만족한다.
\(l=de\)인 \(l\)을 잡자. (여기서 \(g:k=cd:ef\) 임을 알 수 있다.)
\(a=dc\), \(l=de\)이므로 \(c:e=a:l\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(c:e=g:h\)이다. 그러므로 \(g:h=a:l\)이다.
\(l=ed\), \(b=ef\)이므로 \(d:f=l:b\)이다. [VII권 명제 17] 그런데 \(d:f=h:k\)이다. 그러므로 \(h:k=l:b\)이다.
그런데 \(g:h=a:l\)임을 보였다. 그러므로 \(g:k=a:b\)이다. [VII권 명제 14]
그런데 \(g:k=cd:ef\)이다. 그러므로 \(a:b=cd:ef\)이다.
그러므로 평면수 비는 그들이 변의 비를 곱한 것과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 두 비 \(c:e\), \(d:f\)의 합성 비를 구하는 것이다.
\(c:e=cd:de\)이고 \(d:f=de:ef\)이므로 평면수 비는 \(cd:ef\)이다.
이 명제의 증명은 [VIII권 명제 4]를 사용하여 비 c:d와 비e:f에서 연속적인 비의 가장 작은 수를 찾는 것으로 증명이 더 복잡해졌다.
이 명제는 다음과 같은 대수적인 방법으로 보여보자.
평면수 \(a\)는 두 변 \(c\), \(d\)의 곱으로 즉, \(a=cd\), 평면수 \(b\)는 두 변의 \(e\), \(f\)의 곱으로 즉, \(b=ef\)라 하자. [VIII권 명제 4]에 의해서 비 \(g:h:k\)는 \(g:h=c:e\), \(h:k=d:f\)를 만족하는 \(g:k\)가 \(c:e\), \(d:f\)를 합성한 것이다.
\(a=cd\)이므로 \(c:e=a:de\)이고 \(g:h=a:de\)이다. \(b=ef\)이므로 \(d:f=de:b\)이고 \(h:k=de:b\)이다. \(g:h=a:de\), \(h:k=de:b\)이므로 \(g:k=a:b\)이다. 그러므로 평면수의 비는 각 두 변을 곱한 비와 같다.