VIII 권
명제
제곱수가 어떤 제곱수이 배수이면, 평면수의 변은 어떤 평면수의 변의 배수이다. 역으로 평면수의 변이 어떤 평면수의 변의 배수이면, 제곱수는 어떤 제곱수의 배수이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 평면수 \(a\), \(b\)의 변을 각각 \(c\), \(d\)라 하자. 그러면 \(b\)가 \(a\)의 배수라 하자. 그러면 \(d\)는 \(c\)의 배수이다. 역으로 \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자. 그러면 \(b\)는 \(a\)의 배수이다.
제곱수 \(a\), \(b\)에 대하여, 평면수 \(a\), \(b\)의 변을 각각 \(c\), \(d\)라 하자.
그러면 \(b\)가 \(a\)의 배수라 하자. 그러면 \(d\)는 \(c\)의 배수임을 보여야 한다.
수 \(e\)를 \(e=c\cdot d\)라 하자. 그러면 \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같고 그 비는 비 \(c:d\)와 같다. 즉, \(a:e=e:b=c:d\)이다. [VIII권 명제 11]
\(a:e=e:b\)이므로 \(b\)는 \(a\)의 배수이므로 \(e\)도 \(a\)의 배수이다. [VIII권 명제 7] \(a:e=c:d\)이다. 그러므로 \(d\)는 \(c\)의 배수이다.
역으로 \(d\)가 \(c\)의 배수라고 하자.
그러면 \(b\)는 \(a\)의 배수임을 보여야 한다.
같은 방법으로 수들을 만들자. \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같고 그 비가 비 \(c:d\)와 같다. 즉, \(a:e=e:b=c:d\)이다. 그러므로 \(c:d=a:e\)이고 \(d\)가 \(c\)의 배수이므로 \(e\)는 \(a\)의 배수이다. [VII권 정의 20] 그러므로 \(a\), \(e\), \(b\)의 연속적인 비가 같으므로 \(b\)는 \(a\)의 배수이다.
그러므로 제곱수가 어떤 제곱수이 배수이면, 평면수의 변은 어떤 평면수의 변의 배수이다. 역으로 평면수의 변이 어떤 평면수의 변의 배수이면, 제곱수는 어떤 제곱수의 배수이다.
Q.E.D.
대수적으로 표현하면 다음과 같다.
\(c^2\)이 \(d^2\)을 나누면, \(c\)는 \(d\)를 나눈다.
이 명제는 [VIII권 명제 16]에서 사용된다.