수학사랑

GSP의 기능은 근본적으로 수학적인 개념과 연산에 맞추어져 있기 때문에 모든 수학의 영역를 탐구하고 모델화할 수 있다. GSP는 수학적인 시각화가 매우 중요한 주제들 즉, 고전 기하와 현대 기하, 그래프 그리기, 복소해석, 통계 차트와 다이어그램, 물리적 시물레이션, 위상 등에 대한 아주 특별한 통찰력을 제공한다. 이는 GSP에서의 직접적인 조작과 연속적인 시각화 사이의 소통이 가능하기 때문이다.

GSP는 미적분의 핵심적인 기본 아이디어인 그래프 해석에 대한 표현과 모델링을 가능하게 한다. 즉, 충분히 작게 나누면 거의 모두 직선이 된다는 생각이다. 예를 들어, 그래프 | 새 함수의 그래프를 선택하여 적당히 f(x) = x(x ? 1)(x + 1)와 같은 원점을 지나는 일차함수가 아닌 함수의 그래프를 그리자. 좌표평면에서 단위점을 원점으로부터 점점 멀리 끌어 그 부분의 그래프가 직선처럼 보일 때까지 확대해보자. 자 이제 이 아이디어로 접선을 설명해 보자. 즉 곡선부분을 관찰하기 위해 다시 확대하고 함수의 할선을 작도해보자. 점의 위치에 따라 이 할선은 접선의 좋은 근사적인 그래프가 안될 수도 있다. 그러나 두 점을 아주 가깝게 하여, 즉 ?x가 0으로 가게 하면, 충분히 작은 크기에서 함수는 국소적으로 직선이므로 (따라서 국소적으로 그 접선과 같은 직선이 되어) 할선은 거의 접선이 된다.

직선은 서로 다른 두 점으로 정의하므로 ?x는 순수한 기하적 관점에서 0 이 될 수 없음을 주목하면서 미분의 정의를 생각해 보자.

그러나 만약 ?x가 0이라면 A와 B는 같은 점이 되고, 따라서 할선은 더 이상 정의될 수 없다. 마찬가지로 리만 합에 기초한 정적분 또는 기울기 장(slope fiele), 미분방정식 등을 동적으로 시각화하는 것은 이산적인 상황에서 극한값을 통해 어떻게 연속적인 미적분을 정의하는지를 보여준다. GSP를 통하여 이러한 물리적 표현을 만들고 관찰할 수 있다. 이로부터 몇 개, 또는 몇 십개, 수백, 수천개의 근사값들로 부터 어떤 방법으로 형식적인 수학 개념의 정의가 나올 수 있는지를 추론할 수 있다. 극한으로 접근하는 추론을 통해 새로운 개념을 얻어 내는 것이다. 이런 경험은 실현 가능한 방법으로 추상적인 개념과 정의에 대한 기초적이고 구체적인 생각을 준다.

일반적인 정의에 대한 많은 동적 모델에서, 방정식의 정확성보다는 그 모델에서 다른 개체들 사이의 관련성이 더욱 중요하다. 예를 들어 f'가 f 의 도함수라면, f가 2x이건 x2이건 혹은 sin x이건 관계없이 f'(x0)는 x0에서 f의 접선의 기울기를 결정한다. 따라서 GSP 모델에서 함수의 식을 바꾸는 것은 한 가지 모델의 수학적 의미가 전체에 어떻게 적용될 수 있는지 관찰하거나 설명할 수 있게 한다. (편집 | 함수 편집의 단축 키는 단지 함수를 더블 클릭하면 된다. 함수 식을 편집하는 것이 마치 초등 기하에서 독립적인 점을 끌기하는 것과 미적분의 동적인 모습은 같은 것으로 생각할 수 있다.)

미적분에서 사용하는 GSP의 도구는 도구모음의 기본적인 도구와 마찬가지이다. 함수 (그래프 | 새 함수의 그래프), (계산기를 통한 x-에 대한 함숫값의 계산 및 주어진 좌표계에서의 그래프(그래프 | 함수의 그래프) 메뉴를 포함하는 작도 메뉴이기도 하다.

더구나 GSP는 함수식을 미분(수 | 도함수 정의)할 수 있는 컴퓨터용 대수체계를 내장하고 있다. 다른 함수와 마찬가지로 GSP에서의 도함수도 동적이다. 즉 미분하는 함수를 변화시키면 도함수 또한 변할 것이다. 또한 수 | 그림으로 함수 정의 메뉴를 사용하면 함수의 그래프를 자유롭게 그리고(펜 도구를 사용하여 만들 수 있다), 그 그림을 함수의 그래프로 하여 함숫값을 계산할 수 있고, 미분 가능한 형태로 바꿀수도 있다.

GSP에는 미적분 수업에서 사용할 수 있는 수업활동 모델이 많이 있다. 수업활동 자료 예시와 도움말 | 스케치 및 사용자 도구 예시를 실행하여 몇몇 예제를 살펴보자.
칠판에서 뉴턴의 근사값 방법을 도입하는 수업 과정을 생각해 보자. 간단한 함수의 그래프를 그리고 뉴턴의 방법을 처음 몇 개를 반복하는 것을 보여줄 수 있으나 GSP의 이미 그려진 수업활동 자료 예시를 이용한다면 그 절반 정도의 시간에, 준비된 스케치로 같은 내용을 학습할 수 있다. 게다가 백번 째 반복이나 10,000 번 째 반복을 계속 하고, 초기값을 변화시키고, 그것이 수렴값에 어떤 영향을 주는지 관찰하고, 함수의 계수를 바꾸고, 심지어 뉴턴이 방법이 다른 함수(또는 함수의 자취)에 어떻게 반영되는지 탐구할 수 있다. 또 함수식을 바꾸어 탐구할 수도 있다.

동시에 학생들은 스스로 좀 더 간단한 모델이나 작도를 시도해야 한다. 학생들이 스스로 참여하는 체험학습은 미적분을 단순히 도함수의 공식을 외우는 정도의 수학이 아니라 수학 전반에 걸쳐서 꼭 알아두어야 하는 어떤 모양에 대한 아주 근본적인 주제임을 알 수 있는 가장 좋은 방법이다.

GSP에 기반을 둔 탐구학습은 미적분 너머의 고급주제의 수학적 모습을 볼 수 있도록 해준다. 이 고급주제에 쉽게 접하려면 작도, 변환, 계산, 측정 및 기하적인 시각화, 계산값과 측정값 사이를 유연하게 이동할 수 있도록 GSP의 기초를 습득해야 한다. 또한 GSP가 제공하는 좀 더 향상된 연산을 이용하여 수학적 정의나 관계를 일반화하고 통합할 수 있어야 한다.

함수의 그래프는 좌표평면 위의 방정식을 만족하는 모든 점들을 포함하지만, 자취는 기하적 관계를 임의의 집합으로서 바로 옆의 점들로 이루어진 연속체이다. 자취 정의를 통해 만들 수 있는 기하적 개체의 새로운 형태는 한계가 없다. (GSP에서의 자취는 기학적인 것과 매개변수적인 것의 두 가지이고, 작도 메뉴에 들어있다.) 작도에 의해 새로운 모양이나 개체를 정의하기만 하면, 필요할 때 그 작도를 편리하게 사용할 수 있는 기능이 사용자 도구이다. (아주 자주 사용할 도구라면 그것을 사용자 도구 폴더에 저장하면 된다.)

수학적 표현과 수학의 발달을 이루게한 근본적인 요소 중 하나는 기하와 대수 사이의 상호작용이고, 또 다른 하나는 연속성과 이산성 사이의 팽팽한 관계이다. 기본적인 수준에서는, GSP에서 점을 끌기로 움직이는 것은 연속적인 형태의 변화이며, 매개변수 k의 값을 변화시키는 것은 이산적인 형태의 변화이다. 좀 더 향상된 수준에서, 자취가 (어떤 정의역 내에서) 연속적인 변화를 표현하는 새로운 아이디어로서의 수학적인 도구이며, 반복은 이산적인 변화를 반복을 통해 표현하는 강력한 도구이다. GSP의 변환 | 반복 명령은 프랙탈 그림을 그리는 것만이 아니라 셈하기, 합하기, 수열, 급수 및 다른 산술적인 반복을 가능하게 하는 강력한 도구임을 깨달을 것이다.

사용자 정의 변환, 가변색 및 가변 문자열은 GSP 성능에 대한 고급의 수학적 탐구에서 제 역할을 톡톡히 해 낸다. 사용자 정의 변환은 개체의 (선형이 아닌) 새로운 변환을 정의하고, 가변색은 GSP의 평면적 2차원 속성을 넘어서는 시각화의 새로운 차원과 동시에 (이 기능들을 함께 사용하여 사용자 색 변환이나 표면 색 그래프를 만들 수 있다.) 동적 기하 의 변화에 대한 3차원 색 표현의 세계를 열었다. 가변 문자열은 글 도구로 만든 글상자 안에 수식 표현은 물론이고, GSP가 직접 지원하지 않는 측정값이나 수식(예를 들어, 복소좌표의 표준형이나 극형식 또는 선형 대수의 벡터)도 삽입해 넣을 수 있다. 물론 원래 측정값이 변하면 가변 문자열 속의 측정값도 따라서 변한다. GSP 배우기에서 관련된 항목을 읽어보면 이런 특징과 관련된 사용법을 배울 수 있다.

고등·대학 수업활동 자료(고급주제)를 방문하면 GSP 고급 사용자들의 훌륭한 작품들을 볼 수 있다. 하나의 수학적 주제에 관계된 내용을 여러 페이지로 나누어 수업자료로 활용하기 편리하도록 순차적으로 만들고, 사용자 도구도 함께 포함한 작품들이 많이 있다. (때때로 사용자 도구가 이미 가정한 개체나 문서 페이지에 있는 내용과 효과적으로 상호 작용하도록 특정한 이름표를 붙인 개체와 같은 고급 기법을 사용하기도 한다.) 고등·대학 수업활동 자료(고급주제)에서 (포앙카레 원판의 쌍곡 기하학 모델이 포함된) 비 유클리드 기하, 동적인 급수의 그래프, 복소평면뿐만 아니라 (해석적이고 종합적인 설명 모두 포함된) 3차원 모델을 만들 수 있는 사용자 도구, 불 대수, 펜로즈 타일 등 그 외 많은 주제와 내용의 작품들이 있다.

수업을 위한 GSP 자료 개발에 관심이 있다면 다른 사용자들을 위해 수학사랑의 GSP 홈페이지 묻고 답하기에 투고하시기 바랍니다.