수학사랑

용어 설명

등거리사상(Isometry)

등거리사상은 거리를 보존하는 사상을 말합니다. Tess에서 달는 것은 모두 평면에서의 등거리사상인데, 평면에서의 등거리사상은 평행이동(Translation), 회전이동(Rotation), 선대칭이동(Reflection), 이동반사(Glide reflection)뿐입니다. 이동반사는 평행이동을 한 뒤 그 이동방향에 평행한 직선에 대해 선대칭이동하는 것을 말합니다.

대칭변환(Symmetry)

이 프로그램의 목적상, 대칭변환이란 평면상의 어떤 도형을 그 자신과 합동인 도형으로 보내는 등거리사상을 말한다고 할 수 있습니다.

대칭변환군(Symmetry group)

대칭변환을 원소로 하고, 사상의 합성을 연산으로 하는 군입니다.

궤도 (Orbit)

대칭변환군 G에서의 점 p의 궤도(Gp로 나타냄)는 G의 모든 원소에 대한 점 p의 상을 모두 모아 놓은 집합입니다. Tess에서는 하나의 궤도에 속한 점들은 모두 같은 색으로 표시됩니다.

꽃무늬 변환군(Rosette group)

꽃무늬 변환군이란 평행이동을 원소로 갖지 않는 대칭변환군을 말합니다.

줄무늬 변환군 (Frieze group)

줄무늬 변환군이란, 한 방향의 평행이동을 원소로 갖는 대칭변환군을 말합니다.

벽지무늬 변환군(Wallpaper group)

벽지무늬 변환군은 두 개의 독립적인 방향의 평행이동을 원소로 갖는 대칭변환군을 말합니다.

변환군 기호

대칭변환군을 나타내는 데는 현재 몇 가지 서로 다른 방법이 사용되고 있습니다. 어떤 방법을 사용할 것인지는 선택사항에서 선택할 수 있습니다.

Fejes Toth 기호

Fejes Toth 기호 체계에서는 각 변환군을 알파벳 한 글자와 아래 첨자로서 나타내면, 위첨자가 추가로 붙는 경우도 있습니다. 아래 첨자는 그 군의 회전 변환의 위수(Order) 중 가장 높은 것을 나타냅니다.

꽃무늬 변환군(Rosette group)

은 선대칭이동이 없고 위수가 가장 큰 회전이동의 회전각이 인 꽃무늬 변환군을 나타냅니다.

은 선대칭이동을 포함하며 위수가 가장 큰 회전이동의 회전각이 인 꽃무늬 변환군을 나타냅니다.

위와 같은 기호는 Fejes Toth 이전에도 쓰이고 있었으며

각 이 순환군 (Cyclic group)이고
각 이 정이면체군 (Dihedral group)이 되기 때문에 직관적으로 알아보기가 쉽습니다.
그러나 군론에서는 라는 기호를 2n개의 원소가 아닌 n개의 원소를 가진 정이면체군의 기호로 쓰는 경우가 많기 때문에 약간의 문제를 갖고 있습니다.

줄무늬 변환군 (Frieze group)

줄무늬 변환군은 7개가 있으며 다음의 표로 정리할 수 있습니다. 표에서는 우선 가장 위수가 큰 회전이동이 무엇이냐에 따라 두 개의 열(세로줄)로 나 누었으며, 각각의 칸 안에는 그 변환군을 결정하는 성질이 무엇인지 쓰여 있습니다. 하나의 줄무늬 변환군에 대한 Fejes Toth 기호가 무엇인지 알려면 우선 가장 큰 위수의 회전이동이 무엇인지 알아낸 다음 각각의 군의 성질을 대조해 보면 됩니다.