수학사랑

상세내용

기하는 GSP의 출발점이다. 도구 모음에는 유클리드 기하의 기본이 되는 점 도구, 선 도구(직선) 및 원 도구가 있다. 이를 사용하여 학교 기하 수업에서의 도형의 성질에 대한 풍부한 탐구 활동을 할 수 있다. 선 도구를 사용하여 삼각형을 작도하고, 화살표 도구를 사용하여 삼각형의 꼭지점을 끌면 무수히 많은 삼각형을 작도하는 것과 같은 효과를 낸다. GSP를 활용한 이런 간단한 활동으로도 학생들은 모든 삼각형의 밑변이 수평이라고 생각을 하지 않도록 도와 줄 수 있다. 끌기는 도형 학습에서 그리는 도형들이 정적이지 않고 가능한 모든 모양의 도형을 연속적으로 관찰할 수 있는 기회를 제공한다. 또한 시각적, 공간적 개념을 좀 더 구체화할 수 있어서 문제해결에 큰 도움을 줄 수 있다.

예를 들어 학생들이 이등변삼각형을 그린다고 하자. 이 때 단순한 그림과 작도를 구별할 수 있어야 한다. 단순한 이등변삼각형의 그림은 졍적인 성질을 보는 것에 그치지만, 작도는 견고하고 확실한 이등변삼각형의 개념을 갖도록하여 좀더 수준 높은 도형의 탐구학습에 도움이 된다.

원을 그리고 그 위에 두 반지름과 그 반지름의 끝점을 연결하는 선분을 작도한다. 원을 숨기면 이등변삼각형이 남는데 이것은 단지 이등변삼각형처럼 보이는 것이 아니라 실제로 이등변삼각형으로 작도한 것이다. 즉 삼각형의 꼭지점을 마음대로 끌어 보아도 항상 이등변삼각형이 유지된다. 이와같이 끌기 테스트를 통하여 자신이 작도한 도형의 정의에 맞게 그려졌는지 확인해 볼 수 있다.

GSP의 도구 모음에 익숙해지면 점점 복잡한 도형의 성질이나 관계를 포함하는 작도를 해야한다. 이 때 작도 메뉴를 사용한다. 이 메뉴를 사용하여 선분의 중점, 교점 및 평행선과 수선을 쉽게 작도할 수 있다. 작도 메뉴에는 새로운 작도를 하기 위한 필요한 조건이 잘 반영되어 있다. 예를 들어, 작도 | 수선명령은 필요한 조건에 해당하는 개체를 올바로 선택할 때까디 회색으로 비활성화된 채로있다. 즉 수선은 주어진 한 점을 지나면서 다른 직선에 수직이어야 하므로 반드시 한 점과 한 선이 선택되어야 한다.

작도 메뉴의 명령들은 기하에서 배우는 특별한 삼각형, 사각형 및 다각형을 작도할 때 사용한다. 예를 들어, 연모양 도형을 작도했을 때, 항상 변하지 않는 것과 일반적 성질이 무엇인가를 생각하는 것이 중요하다. 연모양 도형의 대각선을 그리고, 어떤 성질이 있는지 추측한다. 또 연모양 도형의 꼭짓점을 끌어 대각선의 변하지 않는 성질이 무엇인지를 탐구하고, 반례도 찾아본다.

작도메뉴에는 자취 명령이 있다. 자취는 GSP에서 가장 위력적인 수학적 개체이며, 원하는 수학적 성질을 가진 기하적 개체를 만든다. 학교 교육과정에서 다소 소홀해지기 쉽지만, 자취는 고전기하학 연구에서 매우 중요한 역할을 한다. 자취에 바탕을 둔 정의나 증명은 고등학교 기하에서도 매우 중요하다.

변환 메뉴를 사용하여 대칭이동, 회전이동, 평행이동, 닮음변환을 탐구한다. 다시 말하자면, 그 메뉴에 있는 명령들은 각 변환의 정의와 성질이 무엇인지를 암시하고 있다. 예를 들어 대칭이동은 대칭축을 먼저 지정하지 않으면 실행할 수 없다. GSP의 동적인 환경은 매력적인 대칭적 디자인을 만들거나, 사용된 변환의 기하적 성질을 이해하는데 유용하다. 예를 들어 수직선을 그리고, 아무 도형을 하나 그리자. 이도형을 수직선에 대하여 선대칭이동하고 한 쪽에 있는 점을 끌어보자. 또 대칭축을 끌어 보자. 이와같이 실제로 조작하고, 실험하고, 추측하고, 관찰하고, 확인하는 것는 변환에 대한 도형의 성질을 이해해 나가는 아주 좋은 방법이다.

반복 명령으로 반복적인 성질을 바탕으로 한 개체를 작도하거나 프랙탈 그림을 그릴 수 있다. 예를 들어, 정육각형은 어떤 점이 한 점을 중심으로 60°씩 반복적으로 회전이동하여 작도할 수 있다. 즉 한 번 회전이동한 다음 그 과정을 반복하여 실행할 수 있다. 실제로 많은 도형의 성질을 탐구하면서 반복을 이용해야 하는 경우가 있다. 그런 경우 반복은 매우 유용하게 쓰일 수 있다. 변의 수가 증가함에 따라 다각형의 대각선의 개수가 어떻게 변하는지, 또는 정다각형의 넓이가 어떻게 변하는지 등을 탐구할 때 사용한다.

측정 메뉴는 둘레의 길이, 원주의 길이, 넓이, 길이, 거리, 각의 크기, 반지름의 길이, 비율 등을 잴 수 있는 매우 중요한 도구이다. AB가 원의 지름이고 C가 원주 상에 있는 삼각형 ABC를 생각해보자. 그리고 삼각형의 세 각을 모두 측정하자. 점C를 원주 위로 자유롭게 끌면 각 B와 C의 크기는 변하는 데, 각C의 크기의 측정값은 항상 90°이다. 원의 크기를 바꾸고 각 C의 크기가 여전히 같은지 확인하자. 측정 메뉴를 이용하여 학생들은 도형에서의 변하지 않는 성질을 알게되고, 많은 경우의 학습에서 이러한 생각을 활용하고 그러한 예를 잧을 수 있다.

측정 메뉴에 있는 가로줄의 아래쪽에 있는 메뉴들은 좌표평면에서의 해석기하를 탐구하는 명령들이다. 데카르트의 좌표평면에서 많은 도형의 문제들을 그림과 식을 통하여해결할 수 있다.

측정 메뉴는 도형의 성질을 실험을 통하여 추측할 수 있는 환경을 제공한다. 예를 들어, 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만들어지는 사각형이 직사각형이라고 추측할 수 있다. 이 때 측정값을 사용하여 그 추측이 올바른지 그른지를 재빠르게 판단하여 잘못된 과정을 밟는 시간을 아낄 수 있다. 자신이 세운 가설 즉, 추측이 측정과 "끌기 테스트"에 의해 올바르다는 것을 알게 되면 자연스럽게 "왜 그럴까"라는 질문이 생기고 그것을 해결하는 과정이 중요한 수학 공부이다.

GSP는 기하적 아이디어의 학습에 대한 시각적인 환경을 제공할 뿐만아니라 단순한 시각적 인식(van Hiele 수준 0: 시각화)으로부터 작도, 용어 및 여러 가지 모양에 대한 예들을 통해서 얻는 도형의 성질에 대한 인식(van Hiele 수준 1: 분석)까지, 또 실험을 통해 가설을 만들고, 확인하고, 일반화하고, 반례를 찾아 얻는 도형의 성질에 대한 인식(van Hiele 수준 2: 추상화)까지 전이되도록 기여해야 한다.

기하적 사고와 증명의 기법을 학습함에 따라 GSP는 특별한 목적에 바탕을 둔 다양한 방법으로 중요한 역할을 할 수 있다. 예를 들어, 측정과 끌기를 통해 GSP는 결과를 증명하고 가설이 옳다는 것에 대한 강한 신뢰감을 줄 수 있다. GSP의 시각화 환경은 도형의 성질이나 관계가왜참인지에 대한 통찰력을 얻을 수 있게 도와준다. 또 GSP는 새로운 결과를 발견하고, 자신이 발견한 내용을 멋진 방법(특히 펜 도구와 가변문자열을 사용하여)으로 다른 사람과 소통할 수 있게 한다.

GSP는 작도 메뉴를 사용하여 자신만의 기하 개체를 만들고, 끌기를 하거나, 측정등의 조작을 통하여 도형의 중요한 성질을 탐구할 수 있게 도와준다. 도형의 성질을 학습하기 위해 사용하는 GSP의 도구들은 광범위한 수학적 문제들에 대한 모델링을 가능하게 한다. 즉, 시각적이고 역동적인 기능들로 문제를 만들고, 테스트하고, 소통하는 데 큰 도움이 된다.