수학사랑

초등대수에서 삼각함수, 원뿔곡선, 기초미적분을 공부해 나감에 따라 GSP는 동적인 모델을 제공하여 대수에서 도입된 추상화된 수학개념들을 잘 이해할 수 있도록 돕고, 미적분에 대한 호기심과 동기유발을 자극한다. GSP의 동적인 기하적 표현과 동적인 대수적 표현 환경은 변수와 함수의 개념을 일반화하고, 삼각함수와 원뿔곡선에 대한 실생활 문제를 해결하고, 기울기와 평균변화율에 대한 이해를 도와 기하와 대수를 연결하는 매개체의 역할을 한다.

삼각함수를 탐구하기 위한 가장 좋은 모델은 원주 위를 움직이는 한 점과 직선을 따라 움직이는 한 점의 운동을 결합한 사인곡선 그래프이다. 이 두 운동을 좌표 상의 한 점으로 나타내어 사인곡선의 모델을 만들고, 주기함수의 성질에 대한 학습을 한다.

이것은 단숨에 기하적 모델에서 대수적 모델로 옮겨하는 단계이다. 원을 선택하고, 그래프 | 단위원으로 새 좌표계 설정을 실행한 다음 그래프 | 격자 형태 | 삼각함수용을 선택한다. 원주 위를 회전하는 점의 회전 거리에 대한 점의 "높이"(점 D의 y-값)에 대한 함수를 생각하고, 이점을 좌표 평면에 나타내면 단위원과 사인곡선의 기하, 대수적 관계를 맺게 된다.

일차함수, 이차함수, 지수함수의 그래프에서 계수를 매개변수 또는 슬라이더로 변하게 하면 비율이나 평행이동이 어떻게 그래프에 영향을 주는지 쉽게 이해할 수 있다. 원래 함수를 평행이동하기 위해 매개변수의 값을 바꾸어 보면서 삼각함수의 변환에 대해 학습할 뿐만아니라 입력된 변수와 출력된 함숫값이 변환에 어떻게 반영되는지를 잘 이해하게 된다. 그리고 변환, 함수의 그래프가 어떻게 다른관계인지 이해한다.

GSP가 제공하는 아주 구체적이고 시각적인 또 다른 대수와 기하의 만남은 직각삼각형과 단위원으로 정의된 삼각함수 사이의 관계이다. 단위원에서 시작하여, 한 꼭짓점이 단위원 위에 있는 직각삼각형을 작도하고, 제1사분면 위의 직각삼각형과 삼각함수의 확장된 영역 사이의 연결성을 탐구할 수 있다.

GSP로 기하학적 정의에 바탕을 둔 원뿔곡선을 작도할 수 있을 뿐만아니고, 좌표평면 위에서의 원뿔곡선의 표현과 방정식을 탐구해 볼 수 있다. 직선 위의 한 점을 끝점으로하는 선분을 작도하고, 그 선분의 수직이등분선을 작도하자. 그런 다음 그 선분의 끝점과 수직이등분선을 선택하고, 작도 | 자취를 실행하자. 이 수직이등분선의 자취가 포물선이다. 즉 직선은 포물선의 준선이 되고, 선분의 자유로운 한쪽 끝점이 초점이다. 기하학적 정의와 대수적 정의 모두를 사용하여 포물선을 작도하고 조작할 수 있으며, 그 둘 사이의 연결성을 탐구할 수 있다.

이제 선분의 한 쪽 끝점을 직선 대신 원 위의 한 점으로 선택하고, 위와 같이 작도하고 자취를 구하면 쌍곡선을 작도할 수 있다. 그런 다음 선분의 자유로운 한 쪽 끝점인 초점을 끌어 원 안으로 이동하면 그 자취는 타원, 심지어 원으로 모양이 바뀐다. 해석적인 원뿔곡선의 탐구를 살펴보기 위해 수업활동 자료 예시를 참고하자.

GSP로 함수의 그래프를 그리는 기초적인 대수적 활동을 넘어서서, 대수와 기하 사이의 관계를 파악할 수 있다. 원뿔곡선의 수식적인 표현과 그래프적인 표현이 어떻게 연관되는지에 대한 해석기하적인 탐구 활동을 할 수 있다.

GSP는 기초미적분의 내용을 이루는 합성함수와 역함수, 벡터와 행렬, 극좌표, 복소수, 수열과 급수 대한 기본 개념은 물론이고, 미적분 자체의 기본내용을 포함하는 광범위한 영역의 주제를 탐구할 수 있게 한다. 이들 주제 중 일부는 도움말 | 스케치 및 사용자 도구 예시를 선택하여 준비된 수업활동 자료 예시를 참고하면 된다.

한 가지 특별한 모델은 직교좌표와 극좌표 탐구 자료이다. 두 개의 서로 다른 좌표계에서 그래프를 따라 한 점이 움직일 때 대응하는 점을 관찰하여 두 좌표계 사이의 관계를 이해할 수 있다. 또 벡터, 행렬의 연산과 변환, 복소수와 급수 등에 대한 자료도 있다.

함수의 그래프 위의 한 점에서의 접선과 그 점에서의 미분계수와의 관계를 탐구할 수 있다. 그래프 | 새 함수의 그래프를 사용하여 일차함수가 아닌 임의의 함수 그래프를 그리고, 함수 위의 두 점을 이용하여 할선을 그려보자. 그 두 점을 점점 가깝게 할 수록 할선은 접선에 거의 가까워지고, 그 기울기는 거의 미분계수가 된다. 함수 위의 점과 같은 x-좌표를 갖고, 그 점에서의 접선의 기울기를y-좌표로 하는 점을 찍을 수 있다.

할선을 애니메이션하면 위에서 정한 점의 자취는 거의 도함수의 그래프와 같다. GSP는 이런 실제적이고 시각적인 경험을 제공하여 미적분에 대한 깊은 이해와 의미를 알도록 도울 수 있다.