수학사랑

상세내용

GSP는 대수를 이해하고 탐구할 수 있는 최고의 도구이다. 함수식과 변수, 좌표 평면에 점 찍기와 방정식, 함수, 함수 그래프의 자취 등 대수 교육과정과 직접적으로 연관된 많은 내용들을 구현할 수 있는 도구와 메뉴들을 제공한다. 어떤 관점에서 살펴보면 GSP는 강력한 그래핑 계산기이다. 그러나 동적기하는 학생들이 대수적 개념을 이해할 수 있도록 큰 기여를 한다.

동적수학이라는 상황은 학생들이 수학적인 양을 직접적으로 변화시키고 그와 관련된 값들의 변화를 탐구할 수 있는 환경이다. 따라서 변수 와 변화 라고 하는 대수적 아이디어를 이해할 수 있게 한다. 그래프는 수학적 구조를 기하적으로 시각화한 것이지만 대수적 아이디어에 근거를 두고 있다. 최근의 많은 대수교육과정은 17, 18세기 해석기하에 뿌리를 두고 있다.

대수에서 첫 번째 주제는 일차방정식과 그래프이다. GSP의 선 도구 는 주로 기하 개체로 쓰이지만, 측정 메뉴에서 기울기나 방정식을 측정하면 대수적인 개체가 된다. 직선을 그리고 선택한 다음 측정 | 기울기를 실행하자. GSP는 좌표평면과 함께 그 직선의 기울기 측정값을 보여준다. 직선을 정의한 점 중 하나를 끌어 직선의 기울기를 바꾸면 기울기의 측정값도 따라 바뀐다. 그러나 직선 전체를 끌어 움직이면 기울기는 전혀 변하지 않는다. 또한 일상적인 용어인 평평한, 약간 기울어진, 가파른 기울기 등과 관련된 기울기 값에 대한 풍부한 예를 통하여 기울기를 시각적으로 학습할 수 있다.

직선을 선택하고 측정 | 방정식를 실행한다. 그리고 그래프의 방정식과 기울기, y-절편 사이의 관계를 학습해 보자. y-절편이 같게 되도록 직선을 끌어 보자. 이렇게 하여 직선의 방정식에서의 상수 값의 시각적인 의미를 이해할 수 있다. 측정 메뉴에 있는 구분선 아래 부분은 대수적인 메뉴들이다. 즉 좌표 상의 기울기, 방정식, 좌표뿐만 아니라 좌표상의 거리 등이다. 이 때 좌표상의 거리는 센티미터, 인치와 같은 물리적 거리가 아니라 좌표평면의 단위 거리고 정의된 거리를 측정한다.

자신이 원하는 함수와 그래프를 그리기 위해 수 메뉴와 그래프 메뉴를 사용할 수 있다. 이로써 그래프 표현과 기호 표현을 이해하고, 표로 된 자료들도 그래프로 나타낼 수 있다. 이차함수의 그래프를 그리고 그 그래프 위에 한 점을 찍은 다음 그 점의 x- 와 y-좌표를 측정해 보자. 이 두 측정값을 선택한 다음 수 | 표 만들기를 선택하자. 함수를 따라 점을 움직여서 두 좌표 값 사이의 수치적 관계를 탐구한다. 수치적관계를 발견할 때까지 이 과정을 반복하면서 표에 새 자료를 추가한다. 이 예에서 측정메뉴를 통해 도형과 수 사이의 관계를 탐구할 수 있다.

그래프 그리기와 매개변수 메뉴를 사용하여 대수 수업에 강력한 아이디어를 이끌어 낼 수 있다. 예를 들어 대수 방정식에서 계수의 역할을 이해하기 위해 매개변수의 값을 사용한다. 새 함수y = (x ? h)(x ? k), h와 k는 매개변수)의 그래프를 그린다. h = k = 1일 때, 꼭짓점이 (1, 0)인 포물선이 된다. 매개변수의 값의 변화에 따라 포물선의 모양이 어떻게 변하는지 관찰 한다. 즉, 매개변수의 값이 증가하거나 음수가 되거나 심지어 0 이된다면 포물선의 모양은 어떻게 될까? 매개변수에 애니메이션을 주어 그 변화 결과를 연속적으로 감상할 수 있다. 따라서 이산적이고, 연결되어 있지 않은 함수 그래프를 보는 대신 연속적인, 즉 모든 y = (x ? h)(x ? k)에 대한 포물선을 볼 수 있다. 이러한 매개변수의 값의 변화는 GSP의 동적인 속성의 핵심 아이디어이다.

GSP의 다이너그래프(궤도그래프)를 이용하여 함수에서의 독립변수와 종속변수 사이의 종속적인 관계의 중요성을 명확하게 이해할 수 있다. 다이너그래프란 x-축과 y-축을 평행선으로 나타내고, x-축 위의 값이 움직임에 따라 y-축을 따라 f(x)의 함숫값이 동적으로 변하는 그래프이다. 다이너그래프는 함수의 변수와 함숫값의 종속적 관계를 올바르게 이해할 수 있는 모델이기도 하지만 함수의 실제적인 움직임과 더불어 정의역과 치역에서의 움직임을 관찰하기에도 편리하다. 예를 들어, 일차함수와 이차함수 사이의 함숫값의 증가하는 모습은 x-축을 따라 x의 값을 끌 때, y의 값의 움직임을 보면 현저하게 다르다. 함숫값의 움직임에대한 현실적 감각이 함수에 대한 올바른 인식과 모델링의 기초가 된다.

간단한 기하적 모델을 통하여 함수적 관계에 대한 이해를 도울 수 있다. 예를 들어 수평인 선분을 하나 작도한 다음 왼쪽 끝을 중심으로, 선분 위의 임의의 점을 반지름을 결정하는 점으로 하여 원을 작도한다. 반지름을 결정하는 점을 선분 위에서 끌면 원의 크기가 변한다. 이 때, 반지름의 길이와 넓이를 측정한다. 그리고 반지름의 길이와 넓이의 측정값을 선택하고, 측정 메뉴의 그래프 | (x, y) 좌표가 주어진 점을 시행한다. 선분을 따라 반지름을 결정하는 점을 움직이면 그래프를 그리는 점들도 역시 따라 움직인다. 이 때 점의 흔적이나 자취를 그리면 확실한 그래프를 관찰할 수 있다.

반지름을 x-좌표로 선택했다면 학생들은 반지름과 넓이의 관계가 이차함수라는 것을 알 수 있을 것이다. 함수의 그래프를 그리는 것은 두 변수의 관계에 대한 감각을 느끼게 할 수 있다. 관계를 함수로 이해하기 위해 관계의 관점에서 개체의 관점으로 생각을 전환해야 한다. 반지름의 길이 측정값과 그래프를 그리는 점을 선택한 다음 작도 | 자취를 시행하자. 그러면 모든 점들의 자취로서 그래프가 그려진다.

이차함수의 그래프를 그리거나 이 그래프가 가능한 모든 반지름의 길이에 대한 넓이를 평면 좌표로 하여 찍은 점이라는 것을 이해하는 대수적 활동은 함수적 관계의 의미를 학습하는 가장 강력하고 효과적인 방법이다.