Poly 다면체
Poly에는 다음 다면체들이 들어 있습니다
- 정다면체(Platonic Solids) 5종류
- 준정다면체(Archimedean Solids) 13종류 +2종류(거울상)
- 각기둥과 엇각기둥(Prisms and Anti-Prisms) 10종류
- 존슨 다면체(Johnson Solids) 92종류+5종류(거울상)
- 카탈란 다면체(Catalan Solids) 13종류+2종류(거울상)
- 겹각뿔과 엇겹각뿔(Dipyramids and Deltohedrons) 10종류
- 지오데식 구면과 지오데식 반구면(Geodesic Spheres and Geodesic Hemispheres) 25종류 구면+12종류 반구면
정다면체는 합동인 정다각형으로 둘러싸여 있고 각 꼭지점에 모이는 면의 수가 모두 같다.
정다면체는 댜음과 같이 5종류가 있습니다.
- 정사면체(Tetrahedron)
- 정육면체(Cube)
- 정팔면체(Octahedron)
- 정십이면체(Dodecahedron)
- 정이십면체(Icosahedron)
준정다면체(아르키메데스 다면체)는 아르키메데스에 의해 정의되었으나 문헌이 남아 있지는 않습니다. 준정다면체의 각 면은 정다각형이며 꼭지점들은 모두 평등합니다. 평등하다는 것은, 각 꼭지점을 다른 한 점으로 옮기면서, 공간상의 다른 점으로는 옮기지 않는 대칭 변환이 항상 존재한다는 것입니다. 예를 들어, 정육면체는 어떤 축에 대해 90°회전시키는 변환과, 그 축에 수직인 한 평면에 대한 대칭 이동을 결합하여 이러한 변환들을 만들 수 있습니다. 준정다면체를 쉽게 만드는 방법은 각 꼭지점에서 면들이 똑같이 배열되도록 하는 것입니다. 준정다면체는 모두 이 성질을 갖고 있으나, 늘린 비틀어 붙인 두 사각 지붕 (존슨 다면체 #37) 은 준정다면체가 아니면서도 이 성질을 갖고 있습니다. 준정다면체는 다음과 같이 13종류가 있습니다.
- 깎은 정사면체 (Truncated Tetrahedron)
- 육팔면체 (Cuboctahedron)
- 깎은 정육면체 (Truncated Cube)
- 깎은 정팔면체 (Truncated Octahedron)
- 부풀린 육팔면체 (Rhombicuboctahedron)
- 부풀려깎은 육팔면체 (Great Rhombicuboctahedron)
- 다듬은 육팔면체 (Snub Cube)
- 십이이십면체 (Icosidodecahedron)
- 깎은 정십이면체 (Truncated Dodecahedron)
- 깎은 정이십면체 (Truncated Icosahedron)
- 부풀린 십이이십면체 (Rhombicosidodecahedron)
- 부풀려깎은 십이이십면체 (Great Rhombicosidodecahedron)
- 다듬은 십이이십면체 (Snub Dodecahedron)
정다면체와 준정다면체를 제외하고, 모든 면이 정다각형이면서, 볼록이며, 모든 꼭지점이 평등한 다면체는 각기둥과 엇각기둥입니다. 이것은 케플러(Johannes Kepler) 에 의해 증명되었습니다.
케플러는 보통 사용되는 준정다면체의 이름을 지은 사람이기도 합니다.
- 삼각기둥 (Triangular Prism)
- 오각기둥 (Pentagonal Prism)
- 육각기둥 (Hexagonal Prism)
- 팔각기둥 (Octagonal Prism)
- 십각기둥 (Decagonal Prism)
- 엇사각기둥 (Square Antiprism)
- 엇오각기둥 (Pentagonal Antiprism)
- 엇육각기둥 (Hexagonal Antiprism)
- 엇팔각기둥 (Octagonal Antiprism)
- 엇십각기둥 (Decagonal Antiprism)
위의 세 종류의 다면체를 제외하고, 모든 면이 정다각형이면서 볼록인 다면체는 유한개 뿐입니다.
이 다면체들은 존슨(Norman W. Johnson) 에 의해 열거되었습니다.
- 사각뿔 (Square Pyramid) (J1)
- 오각뿔 (Pentagonal Pyramid) (J2)
- 삼각지붕 (Triangular Cupola) (J3)
- 사각지붕 (Square Cupola) (J4)
- 오각지붕 (Pentagonal Cupola) (J5)
- 오각둥근지붕 (Pentagonal Rotunda) (J6)
- 늘린 삼각뿔 (Elongated Triangular Pyramid) (J7)
- 늘린 사각뿔 (Elongated Square Pyramid) (J8)
- 늘린 오각뿔 (Elongated Pentagonal Pyramid) (J9)
- 비틀어 늘린 사각뿔 (Gyroelongated Square Pyramid) (J10)
- 비틀어 늘린 오각뿔 (Gyroelongated Pentagonal Pyramid) (J11)
- 맞붙인 삼각뿔 (Triangular Dipyramid) (J12)
- 맞붙인 오각뿔 (Pentagonal Dipyramid) (J13)
- 늘린 맞붙인 삼각뿔 (Elongated Triangular Dipyramid) (J14)
- 늘린 맞붙인 사각뿔 (Elongated Square Dipyramid) (J15)
- 늘린 맞붙인 오각뿔 (Elongated Pentagonal Dipyramid) (J16)
- 비틀어 늘린 맞붙인 사각뿔 (Gyroelongated Square Dipyramid) (J17)
- 늘린 삼각지붕 (Elongated Triangular Cupola) (J18)
- 늘린 사각지붕 (Elongated Square Cupola) (J19)
- 늘린 오각지붕 (Elongated Pentagonal Cupola) (J20)
- 늘린 오각둥근지붕 (Elongated Pentagonal Rotunda) (J21)
- 비틀어 늘린 삼각지붕 (Gyroelongated Triangular Cupola) (J22)
- 비틀어 늘린 사각지붕 (Gyroelongated Square Cupola) (J23)
- 비틀어 늘린 오각지붕 (Gyroelongated Pentagonal Cupola) (J24)
- 비틀어 늘린 오각둥근지붕 (Gyroelongated Pentagonal Rotunda) (J25)
- 비틀어 붙인 두 이각지붕 (Gyrobifastigium) (J26)
- 맞붙인 두 삼각지붕 (Triangular Orthobicupola) (J27)
- 맞붙인 두 사각지붕 (Square Orthobicupola) (J28)
- 비틀어 붙인 두 사각지붕 (Square Gyrobicupola) (J29)
- 맞붙인 두 오각지붕 (Pentagonal Orthobicupola) (J30)
- 비틀어 붙인 두 오각지붕 (Pentagonal Gyrobicupola) (J31)
- 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (Pentagonal Orthocupolarotunda) (J32)
- 비틀어 붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (Pentagonal Gyrocupolarotunda) (J33)
- 맞붙인 두 오각둥근지붕 (Pentagonal Orthobirotunda) (J34)
- 늘린 맞붙인 두 삼각지붕 (Elongated Triangular Orthobicupola) (J35)
- 늘린 비틀어 붙인 두 삼각지붕 (Elongated Triangular Gyrobicupola) (J36)
- 늘린 비틀어 붙인 두 사각지붕 (Elongated Square Gyrobicupola) (J37)
- 늘린 맞붙인 두 오각지붕 (Elongated Pentagonal Orthobicupola) (J38)
- 늘린 비틀어 붙인 두 오각지붕 (Elongated Pentagonal Gyrobicupola) (J39)
- 늘린 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (Elongated Pentagonal Orthocupolarotunda) (J40)
- 늘린 비틀어 붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (Elongated Pentagonal Gyrocupolarotunda) (J41)
- 늘린 맞붙인 두 오각둥근지붕 (Elongated Pentagonal Orthobirotunda) (J42)
- 늘린 비틀어 붙인 두 오각둥근지붕 (Elongated Pentagonal Gyrobirotunda) (J43)
- 비틀어 늘린 맞붙인 두 삼각지붕 (Gyroelongated Triangular Bicupola) (J44)
- 비틀어 늘린 맞붙인 두 사각지붕 (Gyroelongated Square Bicupola) (J45)
- 비틀어 늘린 맞붙인 두 오각지붕 (Gyroelongated Pentagonal Bicupola) (J46)
- 비틀어 늘린 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (Gyroelongated Pentagonal Cupolarotunda) (J47)
- 비틀어 늘린 맞붙인 두 오각둥근지붕 (Gyroelongated Pentagonal Birotunda) (J48)
- 사각뿔이 붙은 삼각기둥 (Augmented Triangular Prism) (J49)
- 두 사각뿔이 붙은 삼각기둥 (Biaugmented Triangular Prism) (J50)
- 세 사각뿔이 붙은 삼각기둥 (Triaugmented Triangular Prism) (J51)
- 사각뿔이 붙은 오각기둥 (Augmented Pentagonal Prism) (J52)
- 두 사각뿔이 붙은 오각기둥 (Biaugmented Pentagonal Prism) (J53)
- 사각뿔이 붙은 육각기둥 (Augmented Hexagonal Prism) (J54)
- 두 사각뿔이 마주보게 붙은 육각기둥 (Parabiaugmented Hexagonal Prism) (J55)
- 두 사각뿔이 비껴보게 붙은 육각기둥 (Metabiaugmented Hexagonal Prism) (J56)
- 세 사각뿔이 붙은 육각기둥 (Triaugmented Hexagonal Prism) (J57)
- 오각뿔이 붙은 정십이면체 (Augmented Dodecahedron) (J58)
- 두 오각뿔이 마주보게 붙은 정십이면체 (Parabiaugmented Dodecahedron) (J59)
- 두 오각뿔이 비껴보게 붙은 정십이면체 (Metabiaugmented Dodecahedron) (J60)
- 세 오각뿔이 붙은 정십이면체 (Triaugmented Dodecahedron) (J61)
- 두 곳을 비껴보게 자른 정이십면체 (Metabidiminished Icosahedron) (J62)
- 세 곳을 자른 정이십면체 (Tridiminished Icosahedron) (J63)
- 삼각뿔이 붙은 세 곳을 자른 정이십면체 (Augmented Tridiminished Icosahedron) (J64)
- 삼각지붕이 붙은 깎은 정사면체 (Augmented Truncated Tetrahedron) (J65)
- 사각지붕이 붙은 깎은 정육면체 (Augmented Truncated Cube) (J66)
- 두 사각지붕이 붙은 깎은 정육면체 (Biaugmented Truncated Cube) (J67)
- 오각지붕이 붙은 깎은 정십이면체 (Augmented Truncated Dodecahedron) (J68)
- 두 각지붕이 마주보게 붙은 깎은 정십이면체 (Parabiaugmented Truncated Dodecahedron) (J69)
- 두 오각지붕이 비껴보게 붙은 깎은 정십이면체 (Metabiaugmented Truncated Dodecahedron) (J70)
- 세 오각지붕이 붙은 깎은 정십이면체 (Triaugmented Truncated Dodecahedron) (J71)
- 한 곳을 비튼 부풀린 십이이십면체 (Gyrate Rhombicosidodecahedron) (J72)
- 두 곳을 마주보게 비튼 부풀린 십이이십면체 (Parabigyrate Rhombicosidodecahedron) (J73)
- 두 곳을 비껴보게 비튼 부풀린 십이이십면체 (Metabigyrate Rhombicosidodecahedron) (J74)
- 세 곳을 비튼 부풀린 십이이십면체 (Trigyrate Rhombicosidodecahedron) (J75)
- 한 곳을 자른 부풀린 십이이십면체 (Diminished Rhombicosidodecahedron) (J76)
- 두 곳을 마주보게 자르고 비튼 부풀린 십이이십면체 (Paragyrate Diminished) Rhombicosidodecahedron (J77)
- 두 곳을 비껴보게 자르고 비튼 부풀린 십이이십면체 (Metagyrate Diminished Rhombicosidodecahedron) (J78)
- 한 곳을 자르고 두 곳을 비튼 부풀린 십이이십면체 (Bigyrate Diminished Rhombicosidodecahedron) (J79)
- 두 곳을 마주보게 자른 부풀린 십이이십면체 (Parabidiminished Rhombicosidodecahedron) (J80)
- 두 곳을 비껴보게 자른 부풀린 십이이십면체 (Metabidiminished Rhombicosidodecahedron) (J81)
- 두 곳을 자르고 한 곳을 비튼 부풀린 십이이십면체 (Gyrate Bidiminished Rhombicosidodecahedron) (J82)
- 세 곳을 자른 부풀린 십이이십면체 (Tridiminished Rhombicosidodecahedron) (J83)
- 다듬은 맞붙인 쐐기꼴 (Snub Disphenoid) (J84)
- 다듬은 엇사각기둥 (Snub Square Antiprism) (J85)
- 쐐기꼴 왕관 (Sphenocorona) (J86)
- 사각뿔이 붙은 쐐기꼴 왕관 (Augmented Sphenocorona) (J87)
- 큰 쐐기꼴 왕관 (Sphenomegacorona) (J88)
- 둔한 쐐기꼴 큰 왕관 (Hebesphenomegacorona) (J89)
- 두 쐐기꼴로 만든 띠 (Disphenocingulum) (J90)
- 잘라 붙인 두 오각둥근지붕 (Bilunabirotunda) (J91)
- 오각둥근지붕을 잘라 붙인 둔한 삼면 쐐기꼴 (Triangular Hebesphenorotunda) (J92)
카탈란 다면체는 준정다면체의 쌍대 다면체입니다. 쌍대 다면체는 다면체의 각 면을 꼭지점으로, 각 꼭지점을 면으로 대체하여 만들어지는 다면체입니다. 예를 들어, 정이십면체의 쌍대 다면체는 정십이면체이며, 정십이면체의 쌍대 다면체는 정이십면체입니다.
- 삼각뿔로 덮인 정사면체 (Triakis Tetrahedron)
- 마름모로 이루어진 십이면체 (Rhombic Dodecahedron)
- 삼각뿔로 덮인 정팔면체 Triakis (Octahedron)
- 사각뿔로 덮인 정육면체 Tetrakis (Hexahedron)
- 뾰족한 사각형으로 이루어진 이십사면체 (Deltoidal Icositetrahedron)
- 사각뿔로 덮인 마름모로_이루어진 십이면체 (Disdyakis Dodecahedron)
- 뾰족한 오각형으로 이루어진 이십사면체 (Pentagonal Icositetrahedron)
- 마름모로 이루어진 삼십면체 Rhombic (Triacontahedron)
- 삼각뿔로 덮인 정이십면체 (Triakis Icosahedron)
- 오각뿔로 덮인 정십이면체 (Pentakis Dodecahedron)
- 뾰족한 사각형으로 이루어진 육십면체 (Deltoidal Hexecontahedron)
- 사각뿔로 덮인 마름모로_이루어진 삼십면체 (Disdyakis Triacontahedron)
- 뾰족한 오각형으로 이루어진 육십면체 (Pentagonal Hexecontahedron)
겹각뿔은 각기둥의 쌍대 다면체이며, 엇겹각뿔은 엇각기둥의 쌍대 다면체입니다.
- 맞붙인 삼각뿔 (Triangular Dipyramid)
- 맞붙인 오각뿔 (Pentagonal Dipyramid)
- 맞붙인 육각뿔 (Hexagonal Dipyramid)
- 맞붙인 팔각뿔 (Octagonal Dipyramid)
- 맞붙인 십각뿔 (Decagonal Dipyramid)
- 엇붙인 사각뿔 (Square Deltohedron)
- 엇붙인 오각뿔 (Pentagonal Deltohedron)
- 엇붙인 육각뿔 (Hexagonal Deltohedron)
- 엇붙인 팔각뿔 (Octagonal Deltohedron)
- 엇붙인 십각뿔 (Decagonal Deltohedron)
최초의 지오데식 돔은 1922 년 Walter Bauersfeld 에 의해 설계되었습니다. 수십년 뒤, Buckminster Fuller 는 지오데식 건축물을 대중화하고 발전시켰습니다. 지오데식 구면을 만들려면, 먼저 골격이 될 볼록 다면체를 선택합니다. 다음은 다면체의 모든 면을 삼각형으로 만듭니다. 그러기 위해서는 삼각형이 아닌 모든 면의 중심에 새로운 꼭지점을 잡고 그것과 그 면의 원래 꼭지점들을 연결합니다. 그리고 나서 모든 꼭지점이 다면체의 중심으로부터 같은 거리에 오도록, 똑바로 중심을 향하거나 그 반대의 방향으로 각 꼭지점을 움직입니다. 그렇게 해서 얻어지는 다면체를 일단계 지오데식 구면이라고 합니다.
더 높은 단계의 지오데식 구면은 다면체의 각 면을 삼각형의 그물로 바꾼 뒤 역시 각 꼭지점이 다면체의 중심으로부터 같은 거리에 오도록 함으로써 얻어집니다. 이단계 지오데식 다면체는 일단계 지오데식 다면체의 각 모서리를 이등분하여 각각의 면을 4 개의 합동인 삼각형으로 바꾼 뒤 모든 꼭지점이 중심에서 같은 거리에 오도록 움직여 얻어집니다. 삼단계 지오데식 다면체는 일단계 지오데식 다면체의 각 모서리를 삼등분하여 각각의 면을 9 개의 합동인 삼각형으로 바꾼 뒤 모든 꼭지점이 중심에서 같은 거리에 오도록 움직여 얻어집니다.
- 정사면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 정육면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Hexahedral Geodesic Sphere)
- 정팔면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Octahedral Geodesic Sphere)
- 정십이면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Dodecahedral Geodesic Sphere)
- 정이십면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Icosahedral Geodesic Sphere)
- 정사면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 정육면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Hexahedral Geodesic Sphere)
- 정팔면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Octahedral Geodesic Sphere)
- 정십이면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Dodecahedral Geodesic Sphere)
- 정이십면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Icosahedral Geodesic Sphere)
- 정사면체로 만든 삼단계 지오데식 구면 (3-Frequency Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 정팔면체로 만든 삼단계 지오데식 구면 (3-Frequency Octahedral Geodesic Sphere)
- 정이십면체로 만든 삼단계 지오데식 구면 (3-Frequency Icosahedral Geodesic Sphere )
- 정이십면체로 만든 이단계 지오데식 반구면 (2-Frequency Icosahedral Geodesic Hemisphere)
- 정팔면체로 만든 삼단계 지오데식 반구면 (3-Frequency Octahedral Geodesic Hemisphere)
- 정육면체로 만든 일단계 지오데식 반구면 (1-Frequency Hexahedral Geodesic Hemisphere)
- 정팔면체로 만든 이단계 지오데식 반구면 (2-Frequency Octahedral Geodesic Hemisphere)
- 정육면체로 만든 이단계 지오데식 반구면 (2-Frequency Hexahedral Geodesic Hemisphere)
- 정사면체로 만든 이단계 지오데식 반구면 (2-Frequency Tetrahedral Geodesic Hemisphere)
- 다듬은 십이이십면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Snub Icosidodecahedral Geodesic Sphere)
- 다듬은 십이이십면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Snub Icosidodecahedral Geodesic Sphere)
- 깎은 정사면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Truncated Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 깎은 정사면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Truncated Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 다듬은 육팔면체로 만든 일단계 지오데식 구면 (1-Frequency Snub Cuboctahedral Geodesic Sphere)
- 다듬은 육팔면체로 만든 이단계 지오데식 구면 (2-Frequency Snub Cuboctahedral Geodesic Sphere)
- 정사면체로 만든 사단계 지오데식 구면 (4-Frequency Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 정팔면체로 만든 사단계 지오데식 구면 (4-Frequency Octahedral Geodesic Sphere)
- 정이십면체로 만든 사단계 지오데식 구면 (4-Frequency Icosahedral Geodesic Sphere)
- 정사면체로 만든 사단계 지오데식 반구면 (4-Frequency Tetrahedral Geodesic Hemisphere)
- 정팔면체로 만든 사단계 지오데식 반구면 (4-Frequency Octahedral Geodesic Hemisphere)
- 정이십면체로 만든 사단계 지오데식 반구면 (4-Frequency Icosahedral Geodesic Hemisphere)
- 정사면체로 만든 육단계 지오데식 구면 (6-Frequency Tetrahedral Geodesic Sphere)
- 정팔면체로 만든 육단계 지오데식 구면 (6-Frequency Octahedral Geodesic Sphere)
- 정이십면체로 만든 육단계 지오데식 구면 (6-Frequency Icosahedral Geodesic Sphere)
- 정사면체로 만든 육단계 지오데식 반구면 (6-Frequency Tetrahedral Geodesic Hemisphere)
- 정팔면체로 만든 육단계 지오데식 반구면 (6-Frequency Octahedral Geodesic Hemisphere)
- 정이십면체로 만든 육단계 지오데식 반구면 (6-Frequency Icosahedral Geodesic Hemisphere)
