수학사랑

초중등 수업활동

교사들이 어떻게 GSP를 효과적으로 사용하며, 학생들의 학습자세와 수학에 대한 이해에 어떤 영향을 주는지 살펴보자. 수학의 각 분야와 수준별로 정리된 여러 가지 수업활동 자료들을 참고하자.
초등학생들은 GSP의 동적인 그림을 좋아할 뿐만이 아니라 GSP를 다루는 기본적인 기능도 빨리 습득한다. GSP를 다룰 수 있는 환경이 제공된다면 학생들은 도형의 성질과 측정, 그래프 등에 쉽게 접근할 수 있다. 한편 수 감각, 분수, 연산, 자료와 통계, 대수등에 대한 수업활동 자료를도 살펴보자.

중학교에서의 GSP 활용

중학교에서는 수학적 대상과 개념이 구체적인 것에서 추상적인 것으로 전환되는 시기이다. 학생들은 음수, 변수 그리고 더욱 많아진 도형들의 형식적 정의와 성질을 공부해야 한다.
학생들이 초등학교에서의 "도형과 수" 그리고 중학교에서의 "기하와 대수"를 연결짓는 다리를 건너가는 동안 초등학교에서 사용하던 조작물들에 대하여 경계심을 갖게 된다. 이는 조작물을 사용하면 초등학생으로 돌아간다는 생각을 갖고 있기 때문이다. 사실은 수학적인 성장을 하는 이 시기에 조작물 활동은 그 어느 때보다 더욱 필요하다. 중학교 교사들은 초등학교 또는 고등학교 교사보다 더 넓은 범위의 주제를 다루어야 한다. 종종 신입생에게는 수학적 배경도 제시해야 한다. GSP는 추상적인 주제들을 작도, 탐구, 예측, 가설 세우기 등을 통하여 효과적으로 시각화하고 구체화할 수 있는 조작도구들을 제공한다.
GSP를 활용하는 동안 교사들은 학생으로 돌아가는 기회를 갖게 되고, 학생들은 수학적 내용에 대한 확신과 개인적인 통찰력을 갖게 된다.

기하: 작도와 변환

중학교에서는 가끔 아주 쉬운 동적기느을 사용하기도 하지만 대부분 작도, 변환, 측정 , 수, 그래프와 같은 GSP의 모든 핵심 메뉴를 사용한다.
GSP를 처음 다루는 학생들은 도구상자의 기본적인 도구를 사용하여 점, 원, 선을 그리고 마우스로 끌어 보며 조작해 볼 수 있다. 사실 작도 메뉴에도 점, 선, 원 등을 그리는 명령이 있다. 즉 예를 들면 선분, 직선, 중심과 한 점이 주어진 원 등의 메뉴가 있다. 이는 수학에서 사용하는 낱말과 용어의 정의를 좀더 형식적으로 강조한 것이다. 이로써 평행선, 수선, 각의 이등분선 등의 작도를 학습할 수 있게 된다.

학생들은 주어진 도형을 회전이동, 대칭이동, 평행이동해 보고, 처음 그림이 어떻게 변환되었는지 그 성질을 탐구한다. 이와같은 방법으로 테셀레이션을 만들기도 한다. 도형을 끌어 보면서 더욱 다향한 예를 관찰하기도하고, 작도가 올바른지 검토하기도 한다. 또한 끌기를 통해 도형의 성질을 탐구하여 자신이 세운 가설이 참임을 확인하거나, 반례를 만들어 그 가설이 거짓임을 알기도 한다.

측정과 가설 세우기

GSP의 측정 메뉴에서 도형의 각, 넓이, 둘레 등을 측정한 측정값은 도형을 수로 표현한 것이다. 또한 GSP에서의 측정값은 동적이기 때문에, 도형의 한 부분을 마우스로 끌 때 그 측정값이 변하지 않는다면 이는 매우 중요한 관계나 성질이 존재한다는 징후이다.

예를 들어, 밑변에 평행한 직선 위에 있는 삼각형의 한 꼭지점을 끌 때 넓이의 측정값이 변하지 않는 다는 것은 삼각형의 등적변형을 뜻한다. 즉, 밑변에 평행한 직선 위의 꼭지점을 움직여도 삼각형의 밑변과 높이가 변하지 않기 때문이다. 수 메뉴에 있는 계산기는 여러 측정값들의 합이나 비 등을 계산하여 서로 비교할 수 있는 매우 중요한 도구이다. 예를 들면 삼각형의 세 각의 크기를 측정하고 그 합을 계산한다. 그리고 삼각형의 꼭지점을 끌면 세 각의 크기의 측정값은 빠르게 변하지만 그 합은 변하지 않는다. 이로써 삼각형의 세 각의 합에 대한 가설을 세우고 그것이 옳다는 것을 확신하게 된다.

그래프와 방정식

좌표평면 위에서 도형과 방정식은 새로운 관계를 맺을 수 있고, 그 관계는 바로 그래프이다. 먼저 점을 찍고 좌표를 측정한다. 그리고 점을 끌어 움직이면서 가로 좌표와 세로 좌표(x 와 y)가 어떻게 변하는지 관찰한다. 그리고 가로좌표가 0인 곳은 어디인가? 또 1인 곳은 어디인가? 물론 세로 좌표에 대해서도 비슷한 질문을 할 수 있다. 또는 가로 좌표와 세로 좌표가 같은 곳은 어디인가? 기울기에 대해서도 비슷한 실험을 하여 기울기에 대한 수치적 이해와 시각적 이해를 도울 수 있다.

수업활동 자료 예시에서 관련된 동적 GSP 모델을 탐구할 수 있다.

수 메뉴와 계산기를 사용하여 간단한 대수 모델을 만들 수 있다. GSP의 수 메뉴에 있는 매개변수는 이름을 붙일 수 있고, 마음대로 값을 변화시킬 수도 있다. 따라서 매개변수는 변수의 역할을 한다. 예를 들어 새 매개변수의 값 x = 3 을 만든 다음 2 ? x (즉, 6)를 계산해 보자. 그리고 매개변수의 값을 3에서 4로 변화시키면 매개변수에 대한 계산값 2 ? x도 바뀐다. 좀 더 확장하여 매개변수의 값과 계산값 2 ? x을 선택한 다음 그래프 | (x, y) 좌표가 주어진 점를 선택하여 점 (x, 2 ? x)를 찍어 보자. 그런 다음 변수에 해당하는 매개변수에 애니메이션을 주고, x값이 변함에 따라 점 어떻게 변하는지 설명해 보자. 점의 흔적을 남기거나 자취를 만들면 그래프를 볼 수 있다.

GSP5의 동적이고 시각적인 요소는 공식이나 기호, 수학적 추상성에 대해 구체적인 의미를 알게하고, 학생들은 "그래 이제 알겠어"라는 안도와 기쁨을 느낄 수 있다. 도형과 방정식 사이의 관계를 관찰하면서 수학적 특성을 느끼고, 수학의 매력과 위력에 놀라워할 것이다.

중학교 수업활동 자료

주의: Internet Explorer를 사용하는데 .zip 활동 파일을 다운로드 할 수 없다면 다운로드 링크에서 마우스 오른쪽 버튼을 클릭하여 다른 이름으로 대상 저장...을 선택해서 컴퓨터에 저장한다.

오른쪽 또는 왼쪽: 정수의 덧셈과 뺄셈 자료 내려받기

수직선 위에서의 오른쪽 으로 또는 왼쪽으로 움직이면서 정수의 덧셈과 뺄셈을 이해할 수 있다. 정수를 뺀다는 것은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는 것과 같음을 이해할 수 있다.
평균: 자료의 분포와 평균 자료 내려받기

왼쪽의 자료를 나타내는 점들을 수직선 위의 숫자 위로 끌어 놓고, 그들의 평균이 어떻게 변하는지 관찰할 수 있다. 자료를 나타내는 점들은 자유롭게 옮길 수 있다. 즉, 어떤 곳에 있는 자료를 다른 곳으로 옮길 수도 있다.
평균과 중앙값: 중심경향성의 측정 자료 내려받기

정해진 개수의 자료를 나타내는 점들을 끌어 수직선 위에서 위치를 바꾸면서 중앙값과 평균이 어떻게 변하는지 관찰한다. 자료의 개수가 홀수일 때와 짝수일 때의 중앙값이 어떻게 다른지도 살펴볼 수 있다. 이 활동에서는 주어진 자료의 평균과 중앙값을 계산하는 것보다 자료의 분포 또는 자료의 개수에 따라 평균과 중앙값이 어떻게 변하는지를 이해하는 것이 목표이다.
만화경 만들기: 회전이동 자료 내려받기

학생들은 사각형을 회전이동하고, 애니메이션을 주어 실제와 같은 만화경을 만들 수 있다. 학생들은 어떤 모양을 회전이동하면 크기와 모양은 바뀌지 않지만 회전각만 바뀐다는 것을 이해한다. 사각형의 개수와 회전이동 각을 변화하면서 다양한 만화경을 만들 수 있다.
멜로우 옐로우: 그래프 분석 자료 내려받기

구간별로 직선으로 정의된 시간과 거리에 대한 그래프를 이해하는 활동이다. 이 그래프를 보고 멜로우 옐로우라는 캐릭터가 어떻게 집에서 가게까지 걸어갔는지에 대한 이야기를 꾸미는 활동이다. 그래프를 보고 멜로우 옐로우가 천천히, 빨리 걸어 갔는지 또는 잠시 쉬었는지, 뒤돌아 갔는지 등을 분석한다. 또는 멜로우 옐로우가 걸어간 이야기에 따라 그래프도 그릴 수 있다.
등산객: 여러 가지 표현을 이용한 문제풀이 자료 내려받기

두 등산객이 같은 코스를 다른 방향으로, 다른 속도로 걷고 있는 상황의 실생활 문제를 표, 그래프, 방정식 등을 이용하여 해결한다.
양팔 저울: 방정식 풀기 자료 내려받기

GSP 양팔저울에서는 무게를 나타내는 추를 양수 변수, 풍선을 음수 변수로 약속한다. 이러한 양팔 저울의 모델을 이용하여 여러 종류의 방정식을 풀 수 있다. 그러나 많은 문제를 풀면서 양팔 저울을 조작하는 것과 상관없이 방정식을 풀 수 있게 된다.
사각형 이름 정하기: 사각형 분류하기 자료 내려받기

사각형들의 꼭지점과 변들을 끌어 보면서 그 사각형이 어떻게 작도 되었는지 조사한다. 그리고 사각형의 정의에 맞는 이름을 정한다. 이 과정에서 학생들은 사각형의 명확한 정의와 사각형의 포함관계를 이해하고 사각형을 분류할 수 있게 된다.
평행선: 평행사변형과 삼각형의 넓이 자료 내려받기

평행사변형을 절반으로 나누면 평행사변형과 삼각형의 넓이 사이의 관계를 이해할 수 있다. 높이나 밑변의 길이가 변하면 넓이도 변한다. 평행선 사이에서는 모양이 변하지만 높이와 밑변이 변하지 않게 할 수 있다. 이로부터 평행사변형의 넓이와 삼각형의 넓이 공식을 만들 수 있다.
각뿔 펼치기: 겉넓이 자료 내려받기

정다각형을 밑면으로 하는 각뿔의 겉넓이는 각뿔의 전개도를 그려서 구할 수 있다. 밑면의 개수를 증가하면 각뿔의 전개도는 원뿔의 전개로 확장될 수 있다. 이것은 식을 통하지 않고 직관적인 방법으로 극한을 경험하게 하는 기회가 된다.