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수학사랑 이야기

칼라비 삼각형

작성자 : 수학사랑|조회수 : 13477

정삼각형 안에 넓이가 최대가 되도록 내접하면서 합동인 정사각형 3개를 만들 수 있다.

이처럼 넓이가 최대가 되도록 내접하면서

서로 합동인 정사각형 3개가 되는 삼각형은 정삼각형 말고 한 가지가 더 있다.

칼라비 삼각형에서 가장 긴 변의 다른 두 변에 대한 길이의 비를 x 라 하면

이 수 x 는 다음 삼차방정식의 해이다.

              

(존 콘웨이, 리처드 가이, 이진주 역, 수의 바이블, 한승, 2003. 243-244 쪽)

이것을 증명해 봅시다.

(풀이)

그림과 같이 내접하는 정사각형의 한 변의 길이가 1일 때,

 BD의 길이를 t라 할 때, t에 대한 방정식은 다음과 같이 구한다.

이제 이등변삼각형의 두 변의 길이의 비를 구하기 위하여

가장 긴 변의 다른 두 변에 대한 길이의 비 x 의  방정식을 구하여 보자.
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