수학사랑

각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면(모서리)의 개수가 같은 볼록한 입체도형을 정다면체라고 한다.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 다섯 종류 밖에 없다.

위의 왼쪽 도형은 각 면이 모두 합동인 정삼각형 6개로 이루어져 있으나 정육면체라고 하지 않는다.왜냐하면 꼭짓점에 모이는 면(모서리)의 개수가 3 또는 4 가 되어 같지 않기 때문이다.

또 오른쪽 도형은 각 면이 모두 합동인 마름모 12개로 이루어져 있으나 정십이면체라고 하지 않는다. 왜냐하면 각 면이 정다각형이 아닐뿐만 아니라 꼭짓점에 모이는 면(모서리)의 개수가 같지 않기 때문이다.

한 꼭짓점에서 정삼각형이 3개, 4개, 5개 만나 만들어지는 정다면체는 차례로 정사면체, 정팔면체, 정십이면체이다. 정삼각형이 한 꼭짓점에서 6개 만나면 입체가 되지 않고 평면이 된다.

한 꼭짓점에서 정사각형이 3개 만나 만들어지는 정다면체는 정육면체이다. 한 꼭짓점에서 정사각형이 4개 만나면 입체가 되지 않고 평면이 된다.

한 꼭짓점에서 정오각형이 3개 만나 만들어지는 정다면체는 정십이면체이다. 한 꼭짓점에서 정오각형이 4개 만나면 반대편으로 구부러져 입체가 되지않는다. 물론 한 꼭짓점에서 정육각형이 3개 만나면 평면이 되어 입체가 되지 않는다. 따라서 정칠각형부터는 생각할 필요도 없이 입체를 만들 수 없다. 따라서 정다면체는 모두 5종류 밖에 없다.

플라톤은 우주와 우주를 구성하는 네 가지 요소를 정다면체에 비유하여 설명했는데, 가장 가볍고 날카로운 원소인 불은 정사면체, 가장 안정된 원소인 흙은 정육면체, 가장 활동적이고 유동적인 원소인 물은 가장 쉽게 구를 수 있는 정이십면체, 공기는 정팔면체, 그리고 정십이면체는 우주 전체의 형태를 나타낸다고 주장하였다. 이러한 이유로 정다면체를 플라톤의 입체라고도 한다.