원론 소개

유클리드 원론은 총 13권으로 정의 131개, 공리 5개, 일반 상식 5개, 명제 465개가 수록된 책들 이다. I권부터 IV권까지는 2차원 공간의 평면도형을 다루고 있으며, V권부터 비율과 비례로부터 시작해 기초적인 수론을 다고 VI권에서는 IV권에 이어 이를 도형에 적용하고 VII권부터 X권까지 다시 대수적으로 다룬다. XI권 부터 XIII권 까지는 3차원 공간의 입체도형(공간도형)을 다룬다. I권 부터 IV권까지 그리고 VII권, IX권은 피타고라스 학파 이론, VIII권은 아르키타스 이론, V권, VI권, XII권은 에우독소스 이론, X권 XIII권은 테아이테토스 이론이다.

그리스어로는 'Στοιχεῖα'는 ‘원소’, ‘구성 요소’, ‘글자’ 등을 뜻하는 단어이며, 기하학 «원론»이라는 제목으로도 불리며, 흔히 ‘세계 최초의 수학 교과서’로 일컬어진다. 유클리드는 이 책에서 5개 밖에 되지 않는 공리들로부터 465개에 달하는 명제를 연역해 내었다. 유클리드 «원론»은 여러 나라에서 번역 출간되었고 성경 다음으로 많이 출간된 책이다.

'평면 도형'은 평면의 표면(plane surface)에 그려질 수 있는 모든 선과 도형의 속성을 다룬다. 유클리드는 «원론»의 처음 여섯 권의 책에서 직선, 선분으로 둘러싸인 도형, 그리고 원의 성질로 국한시켰다.
'정의'는 «원론» 의 명제에 관련된 요소들을 나타낸다.
'공준'과 '공리'는 명제와 관련된 모든 논리와 논증을 전개하는 기본 원칙을 제시한다.

유클리드 «원론»에서의 '공준'은 지금은 '공리'라는 단어로 사용하고 있으며, 또한 유클리드 «원론»에서 '공리'는 지금은 '일반상식'이란 단어로 사용된다.
유클리드의 설명 방법은 주제를 여러 개의 개별 논제로 나누는데, 이를 '명제'라 한다. 각각의 명제는 비록 한 가지 의미에서 그 자체로 완전하지만, 이전 명제의 결과로부터 파생되며, 이후의 명제로 이어진다.

명제는 문제와 정리 두 종류가 있다.

'문제'는 특정한 선을 그리거나 필요한 도형을 구성하는 등 일부 기하학적 작도에 적용하는 것이다. 문제에 대하여 작도하는 것을 풀이라 한다. 또한 '정리'는 증명으로 기하학적으로 참임을 보이는 것이다. 정리는 가정과 결론으로 구성된다.

명제는 일반적인 명제, 특별한 명제, 작도, 그리고 논증 또는 증명으로 구성되어 있다.

(i) 일반적인 명제는 명제의 목적을 일반적인 용어로 설명하는 예비적 진술이다. 문제에서 명제는 다음과 같은 것을 효과를 나타내기 위해 제안된 구성을 제시한다. 따라서 먼저 주어진 것을 데이터(Data) 라 하고, 두 번째로 필요한 것을 콰에시타(quaesita)라 한다. 정리에서 진술은 증명할 것을 제안하는 속성을 말한다. 다시말해, 가설 또는 가정된 조건 그리고 둘째, 결론 또는 증명해야 할 주장을 말한다. (ii) 특정한 명제는 이미 진술된 내용을 특별한 용어로 반복하며, 독자가 추론을 더 쉽게 따라 할 수 있는 그림(diagram)을 말한다. (iii) 작도는 문제의 목적에 영향을 미치거나 정리의 참을 증명하는 데 필요한 직선과 원을 그리거나 도형을 그리는 것을 말한다. (iv) 마지막으로 논증 또는 증명은 문제에서 제안된 명제의 결론에 도달하였거나 정리에 기재된 성질이 참임을 증명하는 것을 말한다. 유클리드의 추론은 연결된 논증 사슬을 통해 이미 증명되거나 인정된 진리로부터 새로운 진리를 연역적으로 추론하기 때문에 '연역적 추론'이라 한다.

문제 끝에 있는 문자 'Q.E.F.'는 '연역적 추론(Quod erat Faciendum)'의 약자이다. Q.E.F.는 그리스어 "hoper edei poiēsai"라는 그리스어를 라틴어 "quod erat faciendum"로 번역한 것으로 영어로는 "that which was to be done" 또는 "What was to be done"라는 의미이다.

또한 'Q.E.D.'는 정리의 끝에 있으며 증명해야 할 것(Quod erat Demonstrandum)의 약자이다. 이것은 유클리드와 아르키메데스가 자주 쓰던 그리스어 문장 "ὅπερ ἔδει δεῖξαι" (hóper édei deĩxai)를 라틴어로 옮긴 것으로, 직역하면 "이것이 보여져야 할 것이었다"가 된다. 이 약자는 수학에서 증명을 마칠 때 자주 사용된다. 영어권에서는 Q.E.D.를 "Quite Easily Done", "Quite Eloquently Done", 또는 농담으로 "Quite Enough Done", "Quite Elegantly Done", "Question Every Detail", "Question Every Deduction" 등의 약자로 쓰기도 한다. 그리고 지금은 ■ 또는 □의 기호로도 사용하기도 한다. 또한 "Which Was What We Wanted."의 약자로 WWWWW 또는 W⁵을 사용하기도 한다.
'보조명제는(Corollary)'는 확립된 명제에서 진리가 쉽게 따르는 진술로, 일반적으로 추가 증명이 필요하지 않은 추론 또는 연역으로 명제에 추가된 명제이다.

유클리드 원론 영문판 초판본 표지와 내용 일부(헨리 빌링슬리(Henry Billingsley), 1570)

유클리드 원론 총 13권에 대한 정의, 공리, 일반상식, 명제에 대한 각각의 개수는 아래와 같다.

권	정의	공리	일반상식	명제
I권	23	5	5	48
II권	2			14
III권	11			37
IV권	7			16
V권	18			25
VI권	4			33
VII권				39
VIII권				27
IX권				36
X권	16			115
XI권	28			39
XII권				18
XIII권				18
합계	131	5	5	465

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