증명

---

원 \(\rm ABC\)에 대하여, 원 \(\rm ABC\)에 내접하는 정십각형의 한 변을 \(\rm BC\)라 하고, 내접하는 정육각형의 한 변을 \(\rm CD\)라고 하자. 두 변 \(\rm BC\)와 \( \rm CD\)를 점 \( \rm C\)에서 일직선이 되게 하자.

그러면 전체 선분 \(\rm BD\)는 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 잘라지며 잘라진 두 선분 \(\rm BC\), \( \rm CD\) 중 큰 선분이 \( \rm CD\)임을 보이자.

---

원 \(\rm ABC\)의 중심 \(\rm E\)를 잡아라. 선분 \(\rm EB\), \(\rm EC\), \(\rm ED\)를 그리자. 그리고 반직선 \(\rm BE\)와 원 \(\rm ABC\)와의 교점을 \(\rm A\)라 하자. 선분 \(\rm AE\)를 그리자. [III권 명제 1]

선분 \(\rm BC\)는 정십각형의 한 변이므로 \(\overset\frown{\rm ACB}=5\cdot\overset\frown{\rm BC}\)이다. 따라서 \(\overset\frown{\rm AC}=4\cdot\overset\frown{\rm CB}\)이다.

그런데 \(\frac{\overset\frown{AC}}{\overset\frown{BC}}=\frac{\rm\angle AEC}{\rm\angle CEB}\)이다. [VI권 명제 33] 그러므로 \(\rm\angle AEC=4\cdot\angle CEB\)이다.

그리고 \(\rm\angle EBC = \angle ECB\)이므로 \(\rm\angle AEC = 2 \cdot\angle ECB\) 이다. [I권 명제 5, 명제 32]

그리고 원 \(\rm ABC\)에 내접하는 정육각형의 모든 변의 길이는 같으므로 \(\overline{\rm EC}=\overline{\rm CD}\)이다. [IV권 명제 15, 보조 명제] 그러므로 \(\rm\angle CED=\angle CDE\)이다. [I권 명제 5] 그러므로 \(\rm\angle ECB= 2\cdot\angle EDC\)이다. [I권 명제 32]

그런데 \(\rm\angle AEC=\angle ECB\)를 위에서 보였다. 그러므로 \(\rm\angle AEC= 4\cdot\angle EDC\)이다. 그런데 \(\rm\angle AEC=4\cdot\angle BEC\)임을 보였다. 그러므로 \(\rm\angle EDC=\angle BEC\)이다.

그런데 각 \(\rm EBD\)는 두 삼각형 \(\rm BEC\), \(\rm BDE\)의 공통각이다. 그러므로 나머지 두 각의 크기도 같아서 \(\rm\angle BED = \angle BCE\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 \(\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm BE}}=\frac{\overline{\rm EB}}{\overline{\rm BC}}\)이다. [VI권 명제 4]

\(\overline{\rm EB}=\overline{\rm CD}\)이다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm DC}}=\frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm CB}}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm BD}>\overline{\rm DC}\)이므로 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm CB}\)이다.

그러므로 선분 \(\rm BD\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 잘랐으며 잘려진 두 선분 중 큰 선분이 선분 \(\rm DC\)이다.

그러므로 같은 원에 내접하는 정육각형의 한 변과 정십각형의 한 변을 한 끝에서 두 변이 일직선이 되게 하자. 그러면 전체 선분에 대하여 이 두 변이 황금비로 자른 두 선분과 같으며 황금비로 자른 두 선분 중 큰 선분이 정육각형의 한 변이다.

Q.E.D.