명제 9
같은 원에 내접하는 정육각형의 한 변과 정십각형의 한 변을 한 끝에서 두 변이 일직선이 되게 하자. 그러면 전체 선분에 대하여 이 두 변이
황금비로 자른 두 선분과 같으며 황금비로 자른 두 선분 중 큰 선분이 정육각형의 한 변이다.
원 에 대하여, 원 에 내접하는 정십각형의 한 변을 라 하고, 내접하는 정육각형의 한 변을 라고
하자. 두 변 와 를 점 에서 일직선이 되게 하자. 그러면 전체 선분 는 점 에 의해서
황금비로 잘라지며 잘라진 두 선분 , 중 큰 선분이 이다.
증명
원 에 대하여, 원 에 내접하는 정십각형의 한 변을 라 하고, 내접하는 정육각형의 한 변을 라고
하자. 두 변 와 를 점 에서 일직선이 되게 하자.
그러면 전체 선분 는 점 에 의해서 황금비로 잘라지며 잘라진 두 선분 , 중 큰 선분이 임을 보이자.
원 의 중심 를 잡아라. 선분 , , 를 그리자. 그리고 반직선 와 원 와의 교점을 라 하자. 선분 를 그리자. [III권 명제 1]
선분 는 정십각형의 한 변이므로 이다. 따라서 이다.
그런데 이다. [VI권 명제 33] 그러므로
이다.
그리고 이므로 이다. [I권 명제 5, 명제 32]
그리고 원 에 내접하는 정육각형의 모든 변의 길이는 같으므로 이다. [IV권 명제 15,
보조 명제] 그러므로 이다. [I권 명제 5] 그러므로 이다. [I권 명제 32]
그런데 를 위에서 보였다. 그러므로 이다. 그런데 임을 보였다. 그러므로 이다.
그런데 각 는 두 삼각형 , 의 공통각이다. 그러므로 나머지 두 각의 크기도 같아서 이다. [I권 명제 32]
그러므로 이다. [VI권 명제 4]
이다. 그러므로 이다. 그런데 이므로 이다.
그러므로 선분 를 점 에 의해서 황금비로 잘랐으며 잘려진 두 선분 중 큰 선분이 선분 이다.
그러므로 같은 원에 내접하는 정육각형의 한 변과 정십각형의 한 변을 한 끝에서 두 변이 일직선이 되게 하자. 그러면 전체 선분에 대하여 이
두 변이 황금비로 자른 두 선분과 같으며 황금비로 자른 두 선분 중 큰 선분이 정육각형의 한 변이다.
Q.E.D.