증명

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변들의 길이가 모두 같고 모든 각들의 크기가 같은 정오각형 \(\rm ABCDE\)에 대하여, 두 대각선 \(\rm AC\), \(\rm BE\)를 그리자. 이 두 대각선의 교점을 \(\rm H\)라 하자.

그러면 점 \(\rm H\)는 두 대각선 \(\rm BE\), \(\rm AC\)를 황금비로 자르고, 각 큰 선분인 \(\rm HC\), \(\rm HE\)가 정오각형의 한 변의 길이와 같음을 보이자.

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정오각형 \(\rm ABCDE\)에 외접한 원 \(\rm ABCDE\)를 그리자. [VI권 명제 14].

그러면 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}\)이고 \(\rm\angle A=\angle B\)이므로 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm AC}\)이고 두 삼각형 \(\rm EAB\), \(\rm ABC\)는 합동이다. (SSS 합동) [I권 명제 4] 그러므로 나머지 대응하는 각들도 같다. 즉, 길이가 같은 마주보는 변의 길이가 같다. 따라서 \(\rm\angle AEB=\angle BAC\), \(\rm\angle ABC=\angle BCA\)이다.

그러므로 \(\rm\angle BAC=\angle ABE\)이다. 그러므로 \(\overset\frown{\rm EDC} = 2\cdot\overset\frown{\rm CB}\)이기 때문에 \(\rm\angle AHE=2\cdot \angle BAH\)이다. [I권 명제 32]

그런데 \(\overset\frown{\rm EDC} = \overset\frown{\rm CB}\)이기 때문에 \(\rm\angle EAC=\angle BAC\)이다. [III권 명제 28, VI권 명제 33]

그러므로 \(\rm\angle HAE=\angle AHE\)이다. 따라서 \(\overline{\rm HE}=\overline{\rm EA}\)이다. [I권 명제 6] 즉, \(\overline{\rm HE}=\overline{\rm AB}\)이다.

\(\overline{\rm BA}=\overline{\rm AE}\)이므로 \(\rm\angle ABE=\angle AEB\)이다. [I권 명제 5]

그런데 \(\rm\angle ABE=\angle BAH\)임을 보였다. 그러므로 \(\rm\angle BEA=\angle BAH\)이다.

그러므로 각 \(\rm ABE\)는 두 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm HAB\)의 공통각이다. 그러므로 \(\rm\angle BAE=\angle AHB\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm HAB\)의 각들의 크기는 같다.

그러므로 \(\frac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BA}}=\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BH}}\)이다. [VI권 명제 4]

그런데 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm EH}\)이다. 그러므로 \(\frac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm EH}}=\frac{\overline{\rm EH}}{\overline{\rm HB}}\)이다.

\(\overline{\rm BE}>\overline{\rm EH}\)이므로 그러므로 \(\overline{\rm EH}>\overline{\rm HB}\)이다. [VI권 명제 14]

그러므로 점 \(\rm H\)는 선분 \(\rm BE\)를 황금비로 나누며, 긴 선분 \(\rm HE\)는 정오각형의 변의 길이와 같다.

같은 방법으로 점 \(\rm H\)는 선분 \(\rm AC\)를 황금비로 나누며, 긴 선분 \(\rm CH\)는 정오각형의 변의 길이와 같다.

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그러므로 변들의 길이가 모두 같고 모든 각의 크기가 같은 정오각형에서 연속된 두 대각선은 서로를 황금비로 자른다. 이때 잘려진 긴 선분은 정오각형의 한 변의 길이와 같다.

Q.E.D.