XIII 권
명제
모든 변의 길이가 같은 오각형이 있다. 이 오각형의 세 내각의 크기가 같으면 이 오각형의 모든 각의 크기는 같다.
모든 변의 길이가 같은 오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다. 세 내각 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)는 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C\)이다. 그러면 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E\)로 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 각의 크기가 같다.
1) 모든 변의 길이가 같은 오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다. 세 내각 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)는 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C\)이다.
그러면 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E\)로 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 각의 크기가 같음을 보이다.
선분 \(\rm AC\), \(\rm BE\), \(\rm FD\)를 그리자.
\(\overline{\rm CB}=\overline{\rm BA}\), \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm AE}\)이고, \(\rm\angle CBA=\angle BAE\)이므로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BE}\), 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm BAE\)는 합동이다. [I권 명제 4] 그러므로 나머지 각들은 나머지 각들과 크기가 같다. 즉, 같은 길이의 변들을 마주 보는 각들은 크기가 같다. 즉, \(\rm\angle BCA=\angle BEA\), \(\rm\angle ABE=\angle CAB\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm BF}\)이다. [I권 명제 6]
\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BE}\)이므로 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FE}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm DE}\)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm FCD\), \(\rm FED\)에서 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FE}\), \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm DE}\)이고 FD는 공통이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm FCD\), \(\rm FED\)는 합동이다.(SSS 합동) [I권 명제 8]
그런데 \(\rm\angle BCD=\angle AEB\)이다. 그러므로 \(\rm\angle BCD=\angle AED\)이다. 그리고 가정에 의해서 \(\rm\angle BCD=\angle A=∠\angle \)이다. 그러므로 \(\rm\angle AED=\angle A=\angle B\)이다. 같은 방법으로 \(\rm\angle CDE=\angle A=\angle B\)이다. 그러므로 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 각이 같다.
2) 다음으로 세 각이 연속적으로 있지 않은 세 내각 \(\rm\angle A=\angle C=\angle D\)이라고 하자.
그러면 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 각들의 크기가 같음을 보이자.
선분 \(\rm BD\)를 그리자.
그러므로 두 변 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm CD}\)이고, 이들은 크기가 같은 각들을 끼고 있으니 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm BD}\)이며, 두 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm BCD\)는 합동이다. [I권 명제 4] 그러므로 나머지 각들은 나머지 각들과 크기가 같다. 즉, 같은 길이의 변들을 마주보는 각들을 크기가 같다. 그러므로 \(\rm\angle AEB=\angle CDB\)이다.
그런데 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm BD}\)이므로 \(\rm\angle BED=\angle BDE\)이다. [I권 명제 5]
그러므로 \(\rm\angle AED=\angle CDE\)이다.
그런데 가정에 의해서 \(\rm\angle CDE=\angle A=\angle C\)이다. 그러므로 \(\rm\angle AED=\angle A=\angle C\)이다.
같은 이유로 \(\rm\angle ABC=\angle A=\angle C=\angle D\)이다. 그러므로 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 각의 크기는 같다.
그러므로 모든 변의 길이가 같은 오각형이 있다. 이 오각형의 세 내각의 크기가 같으면 이 오각형의 모든 각의 크기는 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [XIII권 명제 17]에 만들어진 정십이면체의 면이 등각오각형을 가지고 있다는 것을 보여주기 위해 필요하다.