증명

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길이가 유리수인 주어진 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 자르자. 그리고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)이라고 하자.

그러면 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)의 길이는 ‘아포토미(apotome)’라 하는 무리수임을 보이자.

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\(\overline{\rm DA}=\frac12\cdot\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm DA\)와 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm A\)에서 일직선이 되도록 하자.

선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 잘랐고, \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)인 선분 \(\rm AC\)에 \(\overline{\rm DA}=\frac12\cdot\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm DA\)를 선분 \(\rm AB\)에 점 \(\rm A\)에서 일직선이 되도록 하였으므로, \({\overline{\rm CD}}^2=5\cdot {\overline{\rm DA}}^2\)이다. [XIII권 명제 1]

그러므로 \(\frac{\overline{\rm CD}^2}{\overline{\rm DA}^2}=\frac51\)이다. 그러므로 한 변이 \(\rm CD\)인 정사각형 넓이와 한 변이 \(\rm DA\)인 정사각형 넓이를 같이 측정 할 수 있다. 즉, 어떤 수의 유리수 배로 나타내 수 있다. [X권 명제 6]

그런데 \(\rm AB\)가 어느 길이의 유리수 배이고, \(\overline{\rm DA}=\frac12\cdot\overline{\rm AB}\)이므로 \(\rm DA\)는 어느 길이의 유리수배이기 때문에 \({\overline{\rm DA}}^2\)는 어느 길이의 유리수 배이다. [X권 정의 4] 그러므로 \({\overline{\rm CD}}^2\)도 어느 길이의 유리수 배이다.

\(\frac{\overline{\rm CD}^2}{\overline{\rm DA}^2}=\frac51\)이어서 제곱수와 제곱수의 비와 같지 않으므로 선분 \(\rm CD\)와 선분 \(\rm DA\)는 어느 길이의 유리수 배로 나타낼 수 없다. [X권 명제 9] 그러므로 두 직선 \(\rm CD\), \(\rm DA\)의 길이는 어느 길이의 유리수 배이며 이들로서는 정사각형들의 넓이만을 잴 수 있다. 그러므로 선분 \(\rm AC\)의 길이 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. [X권 명제 73]

그리고 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 잘랐고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)이므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}={\overline{\rm AC}}^2\)이다. [VI권 정의 3, VI권 명제 17]

그러므로 무리수 길이인 \(\overline{\rm AC}\)가 한 변인 정사각형 넓이 \({\overline{\rm AC}}^2\)이면서 한 변의 길이가 \(\overline{\rm AB}\)인 직사각형의 다른 한 변의 길이는 \(\overline{\rm BC}\)이다. 그런데 한 변의 길이가 무리수인 정사각형의 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 다른 한 변의 길이는 무리수이다. [X권 명제 97] \(\overline{\rm CB}\)는 무리수이다. 위에서 \(\overline{\rm CA}\)도 무리수임을 증명하였다.

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그러므로 길이가 유리수인 주어진 선분을 황금비로 자르자. 잘려진 두 선분의 길이는 모두 ‘아포토미(apotome)’라 라 하는 무리수이다.

Q.E.D.