증명

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선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 나누었다고 하자. \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)이라고 하고, \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AC}\)인 선분 \(\rm DA\)를 선분 \(\rm AB\)점 \(\rm A\)에 붙여 세 점 \(\rm C\), \(\rm A\), \(\rm D\)가 일직선이 되게 하자.

그러면 선분 \(\rm DB\)는 점 \(\rm A\)에 의해서 황금비로 나누어지고, \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm DA}\)임을 보이자.

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선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm AMEB\)를 작도하자. 그리고 <그림>처럼 작도하자. [I권 명제 46]

선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 나누어진다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}^2\)이다. [VI권 정의 3, VI권 명제 17]

그리고 \(\left(\text{직사각형}\rm CNEB \text{넓이}\right)=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이고 \(\left(\text{정사각형}\rm AHGC \text{넓이}\right)=\overline{\rm AC}^2\)이다. 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm CNEB \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm AHGC \text{넓이}\right)\)이다.

\(\left(\text{직사각형}\rm HMEK \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm CNEB \text{넓이}\right)\)이고, \(\left(\text{정사각형}\rm DLHA \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm AHGC \text{넓이}\right)\)이다. 그러므로 \(\left(\text{정사각형}\rm DLHA \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm HMEK \text{넓이}\right)\)이다. 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm DLKB \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm AMEB \text{넓이}\right)\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DL}\) 이므로 \(\left(\text{직사각형}\rm DLKB \text{넓이}\right)=\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm DA}\)이다. \(\left(\text{정사각형}\rm AMEB \text{넓이}\right)=\overline{\rm AB}^2\)이다. 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm DLKB \text{넓이}\right)=\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm DA}=\overline{\rm AB}^2=\left(\text{정사각형}\rm AMEB \text{넓이}\right)\)이다.

그러므로 \(\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm BA}}=\frac{\overline{\rm DA}}{\overline{\rm AD}}\)이다. [VI권 명제 17] 그리고 \(\overline{\rm DB}>\overline{\rm BA}\)이므로 \(\overline{\rm BA}>\overline{\rm AD}\)이다. [V권 명제 14] 그러므로 점 \(\rm A\)는 선분 \(\rm DB\)를 황금비로 자르며 \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm DA}\)이다.

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그로므로 주어진 선분을 황금비로 나누자. 둘로 나누어진 선분 중 긴 선분과 길이가 같은 선분을 주어진 선분의 한 끝 점에서 붙여 일직선 되게 하게하자. 그러면 두 선분을 연결한 전체 선분은 두 선분을 연결한 점에 의해서 황금비로 나누어지고 주어진 선분이 나누어진 선분 중 긴 선분이다.

Q.E.D.