XIII 권
명제
주어진 직선을 황금비로 자르자. 주어진 전체 직선이 한 변인 정사각형 넓이와 주어진 선분을 황금비로 자른 후 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분을 황금비로 자른 후 긴 선분이 한 변인 정사각형의 넓이의 세 배이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 점 \(\rm C\)에 의해서 잘려졌고, \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)라고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2=3\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 점 \(\rm C\)에 의해서 잘려졌고, \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)라고 하자.
그러면 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2=3\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm ADEB\)를 작도하자. 그리고 위 그림과 같이 그리자. [I권 명제 46]
점 \(\rm C\)는 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 자른 점이고 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이므로 \({\overline{\rm AB}}\cdot {\overline{\rm BC}}={\overline{\rm AC}}^2\)이다. [VI권 정의 3, VI권 명제 17]
그리고 \(\left(\text{직사각형}\rm AHKB \text{넓이}\right)= \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이고 \(\left(\text{정사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)=\overline{\rm AC}^2\)이다. 따라서 \(\left(\text{직사각형}\rm AHKB \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)\)이다.
그런데
\(\left(\text{직사각형}\rm AHFC \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm FGEK \text{넓이}\right)\)
\(\left(\text{직사각형}\rm AHFC \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm FGEK \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)\)
\(\left(\text{직사각형}\rm AHKB \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm CGEB \text{넓이}\right)\)
이다. 그러므로 (직사각형 AHKB 넓이)+(직사각형 CGEB 넓이)=2(직사각형 AHKB 넓이)이다.
그러나 \(\left(\text{직사각형}\rm AHKB \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm CGEB \text{넓이}\right)=\left(\text{그노몬}\rm AHFGEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)\)이다. 그러므로 \(\left(\text{그노몬}\rm AHFGEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)=2\cdot\left(\text{직사각형}\rm AHKB text{넓이}\right)\)이다.
\(\left(\text{직사각형}\rm AHKB \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)\)임을 증명하였다. 그러므로 \(\left(\text{그노몬}\rm AHFGEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)=3\cdot\left(\text{직사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)\)이다.
그런데 \(\left(\text{그노몬}\rm AHFGEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm ADEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)=\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm BC}^2\)이다. 그리고 \(\left(\text{정사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)=\overline{\rm AC}^2\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm BC}^2=\left(\text{정사각형}\rm ADEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{\rm 넓이}\right)\)
\(=\left(\text{그노몬}\rm AHFGEB \text{넓이}\right)+\left(\text{정사각형}\rm CFKB \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)=3\cdot\left(\text{직사각형}\rm HDGF \text{넓이}\right)=3\cdot\overline{\rm AC}^2\)다. 따라서 \(\overline{\rm AB}^2+\overline{\rm BC}^2=3\cdot\overline{\rm AC}^2\)이다.
그러므로 주어진 직선을 황금비로 자르자. 주어진 전체 직선이 한 변인 정사각형 넓이와 주어진 선분을 황금비로 자른 후 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분을 황금비로 자른 후 긴 선분이 한 변인 정사각형의 넓이의 세 배이다.
Q.E.D.
이 명제와 다음의 세 개의 명제 즉, 명제 5, 명제 6, 명제 7은 모두 [XIII권 명제 17]에서 정십이면체를 만들기 위해 필요한 명제들이다.