XIII 권
명제
주어진 직선을 황금비로 자르자. 나누어진 두 선분 중 짧은 선분과 긴 선분을 다시 이등분한 선분을 더한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 황금비로 자른 두 선분 중 긴 선분의 절반의 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 5배이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 자려졌다고 하자. 황금비로 잘려진 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이라고 하자. 선분 \(\rm AC\)의 중점을 \(\rm D\)라고 하자. 세 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm D\)가 일직선 위에 있고 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DC}+\overline{\rm CB}\)이면 \({\overline{\rm BD}}^2=5\cdot{\overline{\rm DC}}^2\)이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 자려졌다고 하자. 황금비로 잘려진 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이라고 하자. 선분 \(\rm AC\)의 중점을 \(\rm D\)라고 하자.
그러면, 세 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm D\)가 일직선 위에 있고 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DC}+\overline{\rm CB}\)이면 \({\overline{\rm BD}}^2=5\cdot{\overline{\rm DC}}^2\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm AIEB\)를 만들자. 위의 그림처럼 작도하자. [I권 명제 46]
\(\overline{\rm AC}=2\cdot\overline{\rm DC}\)이므로 \({\overline{\rm AC}}^2=4\cdot{\overline{\rm DC}}^2\)이고 \(\left(\text{정사각형}\rm RISJ \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이}\right)\)이다.
그리고 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}={\overline{\rm AC}}^2\)이고, 직사각형 \(\rm CSEB\)의 두 변이 \(\rm AB\), \(\rm BC\)이므로 \(\left(\text{직사각형}\rm CSEB \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm RJSI \text{넓이}\right)\)이다.
그런데 \(\left(\text{정사각형}\rm RISJ \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이}\right)\)이므로 역시 \(\left(\text{직사각형}\rm CSEB \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이}\right)\)이다.
다시, \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DC}\)이므로 \(\overline{\rm HK}=\overline{\rm KF}\)이다.
그러므로 \(\left(\text{정사각형}\rm GKFJ \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm HILK \text{넓이}\right)\)이다.
그러므로 \({\overline{\rm GK}}^2={\overline{\rm KL}}^2\)이므로 \(\overline{\rm GK}=\overline{\rm KL}\)이다. 즉, 이것은 MN=NE이다. 그러므로 \(\left(\text{정사각형}\rm MJFN \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm FSEN \text{넓이}\right)\)이다.
그런데 \(\left(\text{정사각형}\rm MJFN \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm CDGJ \text{넓이}\right)\)이다. 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm CDGJ \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm FSEN \text{넓이}\right)\)이다.
\(\left(\text{직사각형}\rm CDGJ \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm CFNG \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm FSEN \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm CFNG \text{넓이}\right)\)
\((\text{그노몬}\rm DGJFNB \text{넓이})=(\text{직사각형}\rm CSEB \text{넓이})\)
그런데 \((\text{직사각형}\rm CSEB \text{넓이})=4\cdot(\text{직사각형}\rm FJGK \text{넓이})\)임을 보였다. 그러므로 \((\text{그노몬}\rm DGJFNB 넓이)=4\cdot (\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이})\)이다. 그러므로 \((\text{그노몬}\rm DGJFNB \text{넓이})+(\text{정사각형}\rm GKFJ \text{넓이})=5\cdot(\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이})\)이다.
그런데, \((\text{그노몬}\rm DGJFNB \text{넓이})+(\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이})=(\text{정사각형}\rm DKNB \text{넓이})\)이다.
그리고 \((\text{정사각형}\rm DKNB \text{넓이})=\overline{\rm DB}^2\), \((\text{정사각형}\rm FJGK \text{넓이})=\overline{\rm DC}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm DB}^2=5\cdot \overline{\rm DC}^2\)이다.
그러로 주어진 직선을 황금비로 자르자. 나누어진 두 선분 중 짧은 선분과 긴 선분을 다시 이등분한 선분을 더한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 황금비로 자른 두 선분 중 긴 선분의 절반의 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 5배이다.
Q.E.D.
이 명제의 결과는 [XIII권 명제 16]에서 주어진 구에 정이십면체가 내접할 수 있다는 것을 증명하는데 사용된다.