증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)을 \({\overline{\rm AB}}^2=5\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)가 되도록 내부 점 \(\rm C\)로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 잘랐다. \(\overline{\rm CD}=2\cdot\overline{\rm AC}\)이 되도록 선분 \(\rm CD\), \(\rm AC\)가 일직선이 되도록 점 \(\rm D\)를 잡자.

그러면 변 \(\rm CD\)를 황금비로 잘랐을 때, 잘라진 큰 선분 길이가 선분 \(\rm CB\)와 같음을 보이자.

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선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm ABFL\)를 선분 위쪽에 작도하자. 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm CKGD\)를 선분 아래쪽에 작도하자. 선분 \(\rm BE\)를 그리자. [I권 명제 46]

\({\overline{\rm BA}}^2=5\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)이므로 \(\left(\text{정사각형}\rm ABFL \text{넓이}\right)=5\cdot\left(\text{정사각형}\rm ACHP \text{넓이}\right)\)이다. 따라서 \(\left(\text{그노몬}\rm LPHCBF \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm ACHP \text{넓이}\right)\)이다.

\(\overline{\rm DC}=2\cdot\overline{CA}\)이므로 \({\overline{\rm DC}}^2=4\cdot{\overline{\rm CA}}^2\)이다. 즉, \(\left(\text{정사각형}\rm DKGD \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm ACHP \text{넓이}\right)\)이다. 또한 \(\left(\text{그노몬}\rm LPHCBF \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm ACHP \text{넓이}\right)\)임을 위에서 보였다. 따라서 \(\left(\text{그노몬}\rm LPHCBF \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm DKGD \text{넓이}\right)\)이다.

\(\overline{\rm DC}=2\cdot\overline{\rm CA}\), \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm CK}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CH}\)이므로 \(\left(\text{직사각형}\rm CKEB \text{넓이}\right)=2\cdot\left(\text{직사각형}\rm CBJH\text{넓이}\right)\)이다. [VI권 명제 1]

그러나 \(\left(\text{직사각형}\rm LPHI \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm CBJH \text{넓이}\right)=2\cdot\left(\text{직사각형}\rm CBJH \text{넓이}\right)\)이다. 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm CKEB \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm LPHI \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm CBJH \text{넓이}\right)\)이다.

\(\left(\text{그노몬}\rm LPHCBF \text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\rm CKGD \text{넓이}\right)\)임을 보였다. 그러므로 나머지 넓이들은 같아 \(\left(\text{직사각형}\rm IHJF \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm BEGD \text{넓이}\right)\)이다.

\(\overline{\rm CD}=\overline{\rm DG}\)이므로 \(\left(\text{직사각형}\rm BEGD \text{넓이}\right)=\overline{\rm CD}\cdot \overline{\rm DB}\)이다. 또한 \(\left(\text{정사각형}\rm IHJF \text{넓이}\right)={\overline{\rm CB}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\cdot \overline{\rm DB}={\overline{\rm CB}}^2\)이다.

그러므로 \(\frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm CB}}=\frac{\overline{\rm CB}}{\overline{\rm BD}}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm CB}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CB}>\overline{\rm BD}\)이다. 따라서 직선 \(\rm CD\)를 황금비로 잘랐을 때 긴 선분이 \(\rm CD\)이다.

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그러므로 주어진 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이가 주어진 선분을 잘라 그 중 한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 5배라고 하자. 한 선분을 두 배의 길이의 선분을 황금비율로 자르고 이 때 길이가 긴 선분은 주어진 선분을 잘라 남은 한 선분 길이와 같다.

Q.E.D.

증명

\(2\cdot \overline{\rm AC}>\overline{\rm BC}\)이 아니라고 하자. 그러면 \(2\cdot\overline{\rm AC}\le\overline{\rm BC}\)이다.

1) \(2\cdot\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}\)인 경우

\({\overline{\rm BC}}^2=4\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)이다. \({\overline{\rm BC}}^2+{\overline{\rm CA}}^2=5\cdot{\overline{\rm CA}}^2\)이다. 그런데 가정에서 \({\overline{\rm BA}}^2=5\cdot{\overline{\rm CA}}^2\)이다.

그러므로 \({\overline{\rm BA}}^2={\overline{\rm BC}}^2+{\overline{\rm CA}}^2\)이다. 이것은 불가능하다. [II권 명제 4]

그러므로 \(2\cdot\overline{\rm AC}\ne\overline{\rm BC}\)이다.

2)\(2\cdot\overline{\rm AC} < \overline{\rm BC}\)인 경우

같은 방법으로 BC보다 짧은 직선이 \(2\cdot\overline{\rm AC}\)이 될 수 없을 보일 수 있다. \(\rm BC\)가 더 짧은 직선보다 더 길기 때문에 불가능하다.

따라서 1)과 2)에 의해서 \(2\cdot\overline{\rm AC} > \overline{\rm BC}\)이다.

Q.E.D.