증명

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주어진 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 황금비로 나눈 내분점을 점 $\mathrm{C}$라 하자. 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$가 긴 선분이라고 하자. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\frac{1}{2}\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이고 선분 $\mathrm{A}\mathrm{D}$와 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$가 일직선이 되도록 하여 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$이라고 하자.

그러면, ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2=5\cdot {\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}^2$임을 보이자.

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선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{B}$를 작도하고, 선분 $\mathrm{D}\mathrm{C}$를 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{L}$을 작도하자. 그리고 반직선 $\mathrm{F}\mathrm{C}$와 선분 $\mathrm{K}\mathrm{E}$와 교점을 $\mathrm{G}$라 하자. [I권 명제 46]

선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 황금비로 나누는 내분점을 점 $\mathrm{C}$이기 때문에 두 변이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\times \overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}={\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2$이다. [VI권 정의 3] 그리고 두 변 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{B}\mathrm{C}$로 작도한 직사각형은 $\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{B}$이고, 한 변 $\mathrm{A}\mathrm{C}$로 만든 정사각형은 $\mathrm{F}\mathrm{I}\mathrm{H}\mathrm{J}$이다. [VI권 명제 17] 그러므로 $\left(\text{직사각형}\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{B}\text{넓이}\right)=\left(\text{정사각형}\mathrm{F}\mathrm{I}\mathrm{H}\mathrm{J}\text{넓이}\right)$이다.

그리고 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{A}}=2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이고, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{K}}$, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{H}}$이므로 $\overline{\mathrm{K}\mathrm{A}}=2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{H}}$이다.

그러나 $\frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{K}}}{\overline{\mathrm{A}\mathrm{H}}}=\frac{\left(\text{직사각형}\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{G}\mathrm{C}\text{넓이}\right)}{\left(\text{직사각형}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{J}\text{넓이}\right)}$이다. [VI권 명제 1] 그러므로 $\left(\text{직사각형}\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{G}\mathrm{C}\text{넓이}\right)=2\cdot \left(\text{직사각형}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{J}\text{넓이}\right)$이다. 그런데 $\left(\text{직사각형}\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{I}\text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{J}\text{넓이}\right)=2\cdot \left(\text{직사각형}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{J}\text{넓이}\right)$이다. 그러므로 $\left(\text{직사각형}\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{G}\mathrm{C}\text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{I}\text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{J}\text{넓이}\right)$이다.

그런데 $\left(\text{직사각형}\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{B}\text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\mathrm{I}\mathrm{H}\mathrm{J}\mathrm{F}\text{넓이}\right)$임을 증명하였다. 그러므로 $\left(\text{정사각형}\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{B}\text{넓이}\right)=\left(\text{그노몬}\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\text{넓이}\right)$이다.

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{A}}=2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이므로 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2=4\cdot {\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}^2$이다. 즉, $\left(\text{정사각형}\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{B}\text{넓이}\right)=4\cdot \left(\text{정사각형}\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{H}\text{넓이}\right)$이다.

그러나 $\left(\text{정사각형}\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{B}\text{넓이}\right)=\left(\text{그노몬}\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\text{넓이}\right)$이므로 $\left(\text{그노몬}\mathrm{L}\mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\text{넓이}\right)=4\cdot \left(\text{정사각형}\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{H}\text{넓이}\right)$이다.

그리고 $\left(\text{정사각형}\mathrm{L}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{F}\right)=5\cdot \left(\text{정사각형}\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{H}\text{넓이}\right)$이다.

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그러므로 주어진 선분을 황금비로 자르면, 황금비로 잘라진 선분 중 긴 선분과 선분 길이의 절반을 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이는 주어진 선분의 절반으로 만든 정사각형 넓이의 5배이다.

Q.E.D.