XIII 권
명제
주어진 선분을 황금비로 자르면, 황금비로 잘라진 선분 중 긴 선분과 선분 길이의 절반을 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이는 주어진 선분의 절반으로 만든 정사각형 넓이의 5배이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 나눈 내분점을 점 \(\rm C\)라 하자. 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이라고 하자. \(\overline{\rm AD}=\frac12 \cdot \overline{\rm AB}\)이고 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm AC\)가 일직선이 되도록 하여 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CA}+\overline{\rm AC}\)이라고 하자. 그러면, \({\overline{\rm CD}}^2=5\cdot{\overline{\rm AD}}^2\)이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 나눈 내분점을 점 \(\rm C\)라 하자. 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이라고 하자. \(\overline{\rm AD}=\frac12 \cdot \overline{\rm AB}\)이고 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm AC\)가 일직선이 되도록 하여 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CA}+\overline{\rm AC}\)이라고 하자.
그러면, \({\overline{\rm CD}}^2=5\cdot{\overline{\rm AD}}^2\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm AKEB\)를 작도하고, 선분 \(\rm DC\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm DCFL\)을 작도하자. 그리고 반직선 \(\rm FC\)와 선분 \(\rm KE\)와 교점을 \(\rm G\)라 하자. [I권 명제 46]
선분 \(\rm AB\)를 황금비로 나누는 내분점을 점 \(\rm C\)이기 때문에 두 변이 \(\overline{\rm AB}\times \overline{\rm DC}={\overline{\rm AC}}^2\)이다. [VI권 정의 3] 그리고 두 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\)로 작도한 직사각형은 \(\rm CGEB\)이고, 한 변 \(\rm AC\)로 만든 정사각형은 \(\rm FIHJ\)이다. [VI권 명제 17] 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm CGEB \text{넓이}\right) = \left(\text{정사각형}\rm FIHJ \text{넓이}\right)\)이다.
그리고 \(\overline{\rm BA}=2\cdot \overline{\rm AD}\)이고, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AK}\), \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AH}\)이므로 \(\overline{\rm KA}=2\cdot \overline{\rm AH}\)이다.
그러나 \(\frac{\overline{\rm AK}}{\overline{\rm AH}}=\frac{\left(\text{직사각형}\rm AKGC \text{넓이}\right)}{\left(\text{직사각형}\rm HACJ \text{넓이}\right)}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm AKGC \text{넓이}\right)=2\cdot \left(\text{직사각형}\rm HACJ \text{넓이}\right)\)이다. 그런데 \(\left(\text{직사각형}\rm LPHI \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm HACJ \text{넓이}\right)=2\cdot\left(\text{직사각형}\rm HACJ \text{넓이}\right)\)이다. 그러므로 \(\left(\text{직사각형}\rm AKGC \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm LPHI \text{넓이}\right)+\left(\text{직사각형}\rm HACJ \text{넓이}\right)\)이다.
그런데 \(\left(\text{직사각형}\rm CGEB \text{넓이}\right)=\left(\text{직사각형}\rm IHJF \text{넓이}\right)\)임을 증명하였다. 그러므로 \(\left(\text{정사각형}\rm AKEB \text{넓이}\right)=\left(\text{그노몬}\rm LPHACF \text{넓이}\right)\)이다.
\(\overline{\rm BA}=2\cdot \overline{\rm AD}\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2=4\cdot{\overline{\rm AD}}^2\)이다. 즉, \(\left(\text{정사각형}\rm AKEB \text{넓이}\right)=4\cdot\left(\text{정사각형}\rm PDAH \text{넓이}\right)\)이다.
그러나 \(\left(\text{정사각형}\rm AKEB \text{넓이}\right)=\left(\text{그노몬}\rm LPHACF \text{넓이}\right)\)이므로 \(\left(\text{그노몬}\rm LPHACF \text{넓이}\right)=4\cdot \left(\text{정사각형}\rm PDAH \text{넓이}\right)\)이다.
그리고 \(\left(\text{정사각형}\rm LDCF\right)=5\cdot \left(\text{정사각형}\rm PDAH \text{넓이}\right)\)이다.
그러므로 주어진 선분을 황금비로 자르면, 황금비로 잘라진 선분 중 긴 선분과 선분 길이의 절반을 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이는 주어진 선분의 절반으로 만든 정사각형 넓이의 5배이다.
Q.E.D.
이 명제는 [XIII권 명제 6]과 [XIII권 명제 11]의 증명에 사용된다. 그 명제들은 차례로 명제 [XIII권 명제 16]과 [XIII권 명제 17]에서 만들어진 정이십면체와 정십이면체의 변에 대한 결론을 내리는데 사용된다.