증명

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주어진 원의 지름을 \(\rm AB\)라 하자. \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\)가 되록 점 \(\rm C\)를 잡자. \(\overline{\rm AD}=2\cdot\overline{\rm DB}\)인 점 \(\rm D\)를 잡자. \(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm AEB\)를 그리자. 점 \(\rm C\), \(\rm D\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 선분 \(\rm CE\), \(\rm DF\)를 그리자. 선분 \(\rm AF\), \(\rm FB\), \(\rm EB\)를 그리자. [I권 명제 11]

\(\overline{\rm AD}=2\cdot\overline{\rm DB}\)이므로 \(\overline{\rm AB}=3\cdot\overline{\rm BD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}=\frac32\cdot\overline{\rm AD}\)이다.

그런데 두 삼각형 \(\rm AFB\), \(\rm ADF\)의 대응하는 각의 크기가 같기 때문에 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm AD}}=\frac{\overline{\rm AB}^2}{\overline{\rm AF}^2}\)이다. [V권 정의 9, VI권 명제 8] 그러므로 \(\overline{\rm AB}^2=\frac32\cdot\overline{\rm AF}^2\)이다.

그런데 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)=\(\frac32\)(구에 내접하는 정사면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)이다. [XIII권 명제 13] 그리고 구의 지름이 \(\rm AB\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}=\)(구에 내접하는 정사면체의 한 변의 길이)이다.

다시, \(\overline{\rm AD}=2\cdot\overline{\rm DB}\), \(\overline{\rm AB}=3\cdot\overline{\rm DB}\)이다. 그런데 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm DB}}=\frac{\overline{\rm AB}^2}{\overline{\rm BF}^2}\)이다. [VI권 명제 8, V권 정의 9] 그러므로 \(\overline{\rm AB}^2=3\cdot\overline{\rm BF}^2\)이다.

그런데 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)=\(3\)(구에 내접한 정육면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)이다. [XIII권 명제 15] 따라서 \(\rm AB\)는 구의 지름이다. 그러므로 \(\overline{\rm BF}=\)(구에 내접하는 정육면체의 한 변의 길이)이다.

\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\)이므로 \(\overline{\rm AB}=2\cdot\overline{\rm BC}\)이다. 그런데 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BC}}=\frac{\overline{\rm AB}^2}{\overline{\rm BE}^2}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}^2=2\cdot\overline{\rm BE}^2\)이다.

그런데 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)=\(2\cdot\)(구에 내접한 정팔면체 한 변을 한 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [XIII권 명제 14] 그리고 \(\rm AB\)는 구의 지름이다. 그러므로 \(\overline{\rm BE}=\)(구에 내접하는 정팔면체 한 변의 길이)이다.

그 다음으로 점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직이고 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm AG\)를 그리자. 선분 \(\rm CG\)를 그리자. 점 \(\rm H\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 선분 \(\rm HK\)를 그리자. [I권 명제 11, I권 명제 3, I권 명제 12]

\(\overline{\rm GA}=\overline{\rm AB}\)이므로 \(\overline{\rm GA}=2\cdot\overline{\rm AC}\)이다. 그리고 \(\frac{\overline{\rm GA}}{\overline{\rm AC}}=\frac{\overline{\rm HK}}{\overline{\rm KC}}\)이므로 \(\overline{\rm HK}=2\cdot\overline{\rm KC}\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm HK}^2=4\cdot\overline{\rm KC}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm HK}^2+\overline{\rm KC}^2=\overline{\rm HC}^2=5\cdot\overline{\rm KC}^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm HC}=\overline{\rm CB}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}^2=5\cdot\overline{\rm CK}^2\)이다. \(\overline{\rm AB}=2\cdot\overline{\rm CB}\)이고, \(\overline{\rm AD}=2\cdot\overline{\rm DB}\)이므로

\(\overline{\rm AB}-\overline{\rm AD}=2\cdot\overline{\rm CB}-2\cdot\overline{\rm DB}\)

\(\overline{\rm BD}=2\cdot\overline{\rm DC}\)

이다.

그러므로 \(\overline{\rm BC}=3\cdot\overline{\rm CD}\)이다. 그러므로 \(BC^2=9*CD^2\)이다. 그런데 \(\overline{\rm BC}^2=5\cdot\overline{\rm CK}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CK}^2>\overline{\rm CD}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CK}>\overline{\rm CD}\)이다.

\(\overline{\rm CL}=\overline{\rm CK}\)인 선분 \(\rm CK\)를 그리자. 점 \(\rm L\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 선분 \(\rm LM\)을 그리자. 선분 \(\rm MB\)를 그리자. [I권 명제 3, I권 명제 11]

\(\overline{\rm BC}^2=5\cdot\overline{\rm CK}^2\)이고, \(\overline{\rm AB}=2\cdot\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm KL}=2\cdot\overline{\rm CK}\)이므로 \(\overline{\rm AB}^2=5\cdot\overline{\rm KL}^2\)이다. 그런데 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)\(=5\cdot\)(정이십면체를 만들기 위해 그린 원의 반지름이 한 변인 정사각형 넓이)이다. [XIII권 명제 16, 따름 명제] 그리고 \(\overline{\rm AB}\)는 구의 지름이다. 그러므로 \(\overline{\rm KL}=\)(정이십면체를 만들기 위해 그린 원의 반지름 길이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm KL}=\)(원에 내접하는 정육각형 한 변의 길이)이다.

그리고 (구의 지름)\(=\)(원에 내접하는 정육각형 한 변 길이)\(+\)(정십각형 한 변의 길이)이다. [XIII권 명제 16, 따름 명제] AB는 구의 지름이고, \(\overline{\rm KL}=\)(정육각형의 한 변 길이)이며, \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm LB}\)이므로 두 선분 \(\rm AK\), \(\rm LB\)는 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm LB}=\)(정이십면체를 만들기 위해서 그린 원에 내접한 정십각형 한 변의 길이)이다.

두 선분 \(\rm ML\), \(\rm HK\)는 중심에서 같은 거리만큼 떨어져 있어서 \(\overline{\rm ML}=\overline{\rm HK}\)이기 때문에 \(\overline{\rm LB}=\)(정십각형 한 변의 길이), \(\overline{\rm ML}=\)(정육각형 한 변의 길이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm MB}=\)(정오각형 한 변의 길이)이다.

그런데 정오각형의 한 변은 구에 내접하는 정이십면체의 한 변의 길이와 가다. [XIII권 명제 16] 그러므로 \(\overline{\rm MB}=\)(정이십면체 한 변의 길이)이다.

\(\overline{\rm FB}=\)(정육면체 한 변의 길이)인 선분 \(\rm FB\)를 점 \(\rm N\)에 의해서 황금비로 자르자. 그리고 \(\overline{\rm BN}>\overline{\rm FN}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm NM}=\)(구에 내접하는 정십이면체 한 변의 길이)이다. [XIII권 명제 17, 따름 명제]

\(\overline{\rm AF}=\)(정사면체 한 변의 길이), \(\overline{\rm BE}=\)(정팔면체 한 변 길이), \(\overline{\rm FB}=\)(정육면체 한 변 길이), 일 때, (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)\(=\frac32\cdot\overline{\rm AF}^2=2\cdot\overline{\rm BE}^2=3\cdot\overline{\rm BE}^2\)임을 보였다. 그러므로 (구의 지름이 한 변인 정사각형 넓이)\(= 6\)이라면 (정사면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)\(= 4\)이고, (정팔면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)\(= 3\)이며, (정육면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)\(= 2\)이다.

그러므로 (정사면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)\(=\frac43\)(정팔면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)\(=2\)(정육면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이) 그리고 (정팔면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)\(=\frac32\)(정육면체 한 변이 한 변인 정사각형 넓이)이다.

그러므로 정사면체, 정팔면체, 정육면체 이 \(3\)개의 입체도형의 한 변의 길이는 유리수이다.

그러나 나머지 두 입체도형 즉, 정이십면체, 정십이면체의 한 변의 길이는 무리수이며, 서로의 길이의 비율도 무리수이다. 왜냐하면 이들은 길이가 무리수이고 하나는 황금비인 무리수이고 [XIII권 명제 16] 다른 하나는 황금비로 잘려진 선분 중 하나로 이도 무리수이기 때문이다. [XIII권 명제 17]

정이십면체의 한 변인 \(\rm MB\), 정십이면체 한 변 \(\rm NB\)는 \(\overline{\rm MB}>\overline{\rm NB}\)임을 다음과 같이 증명할 수 있다.

두 삼각형 \(\rm FDB\), \(\rm AFB\)는 대응하는 각들끼리 모두 같으므로 [VI권 명제 8] \(\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm BF}}=\frac{\overline{\rm BF}}{\overline{\rm BA}}\)이다. [VI권 명제 4]

이 삼각형의 세 선분이 서로 비례하므로 \(\frac{\text{첫째 선분}}{\text{셋째 선분}}=\frac{\text{첫째 선분}^2}{\text{셋째 선분}^2}\)이다. [V권 정의 9, VI권 명제 20 따름 명제] 그러므로 \(\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm BA}}=\frac{\overline{\rm DB}^2}{\overline{\rm BF}^2}\)이다. 그러므로 역으로 \(\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BD}}=\frac{\overline{\rm FB}^2}{\overline{\rm DB}^2}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AB}=3\cdot\overline{\rm BD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm FB}^2=3\cdot\overline{\rm BD}^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AD}=2\cdot\overline{\rm DB}\)이므로 \(\overline{\rm AD}^2=4\cdot\overline{\rm DB}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}^2>\overline{\rm FB}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}>\overline{\rm FB}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AL}>\overline{\rm FB}\)이다.

선분 \(\rm AL\)을 점 \(\rm K\)로 황금비로 자르면 \(\overline{\rm KL}>\overline{\rm AK}\)이다. 왜내하면 \(\overline{\rm KL}=\)(정육각형 한 변의 길이), \(\overline{\rm KA}=\)(정십각형 한 변의 길이)이기 때문이다. [XIII권 명제 9] 그리고 선분 \(\rm FB\)를 점 \(\rm N\)에 의해서 황금비로 자르면 \(\overline{\rm NB}>\overline{\rm FN}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm KL}>\overline{\rm NB}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm KL}=\overline{\rm LM}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm LM}>\overline{\rm NB}\)이다. 그러므로 정이십면체 한 변인 MB와 정십이면체 한 변인 \(\rm NB\)는 \(\overline{\rm MB}>\overline{\rm NB}\)이다.

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그러므로 \(5\)개 정다면체의 변들을 각각 그리고 그 길이를 서로 비교할 수 있다.

Q.E.D.

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추가 설명

이 \(5\) 개의 정다면체 이외에는 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같으며 서로 같은 다각형들로 둘러싸인 입체도형이 없을 보이자. 즉, 이들 \(5\) 개의 정다면체 이외에는 정다면체가 없음을 보이자.

\(2\) 개의 정삼각형으로 입체각을 만들 수 없다. 또한 \(2\) 개의 평면으로도 입체각을 만들 수 없다.

\(3\) 개의 정삼각형을 가지고 입체각을 만들면 정사면체의 입체각을 만들 수 있고, \(4\) 개의 정삼각형을 가지고 입체각을 만들면 정팔면체의 입체각을 만들고, \(5\) 개의 정삼각형으로는 정이십면체의 입체각을 만들 수 있다. 그러나 \(6\)개의 정삼각형을 한 점에 붙이면 입체각이 생기지 않는다. 왜냐하면 정삼각형에서 한 각의 크기는 \(60^\circ\)인데 이것들을 모든 각을 더하면 \(360^\circ\)가 되기 때문이다. [XI권 명제 21]

같은 이유로 \(6\)개 보다 많은 정삼각형으로도 입체각을 만들 수 없다.

정사각형 \(3\)개로 입체각을 만들면 정육면체의 입체각이 생긴다. 그러나 \(4\)개 정사각형으로는 입체각을 만들 수 없다. 왜냐하면 정사각형 한 꼭짓점의 각은 \(90^\circ\)로 \(4\)개를 한 꼭짓점에 붙여 만들면 이들 각의 합이 \(360^\circ\)이기 때문이다.

정오각형 \(3\)개를 가지고 입체각을 만들면 정십이면체의 입체각이 생긴다. 그러나 정오각형 \(4\)개로는 입체각을 만들 수 없다. 왜냐하면 정오각형의 한 꼭짓점에서의 각의 크기가 \(108^\circ\)이므로 정오각형 \(4\)개의 각을 합하면 \(360^\circ\) 보다 더 크기 때문이다.

같은 이유로 다른 정다각형으로는 입체각을 만들 수 없다.